王凤筵

(集美大学理学院,福建 厦门 361021)

0 引言

单种群增长的Logistic模型、Gompertz模型是生物数学和经济学中的两个重要的数学模型。种群的生存环境总是受到各种随机不确定因素的影响，因此,很多学者研究了随机Logistic模型[1-9]：dx(t)=rx(t)(1-x(t)/K)dt+σx(t)dBt，其中，x(t)表示t时刻的种群密度，r>0表示种群内禀增长率，K>0表示种群的环境容纳量，σ表示白噪声强度，Bt是标准布朗运动。文献[2]研究了非自治的随机Logistic方程的依时间平均的持久性和灭绝性；文献[4]研究了非自治的随机Logistic方程的依时间平均的全局稳定性、持久性和灭绝性；文献[5]研究了基于随机Logistic方程建立的捕食-食饵的分支问题；文献[6]研究了带有脉冲扰动的非自治的随机Logistic方程的依时间平均的持久性、灭绝性、全局吸引性和随机持久性。但是,当用依时间平均的概念研究随机单种群增长的Gompertz模型时,就遇到无法克服的困难。因此,研究Gompertz模型稳定性甚至何种意义下的稳定性,可以参考的文献很少。

本文引入依均值平方吸引和随机有界性概念，研究下面的随机单种群增长的Gompertz模型[9]:

dx(t)=rx(t)(μ-lnx(t))dt+σx(t)dBt,

(1)

其中：eμ表示种群的环境容纳量;σ表示白噪声强度;Bt是标准布朗运动。关于模型(1)的研究结果是比较少的，而关于确定性单种群Gompertz模型

dx(t)=rx(t)(μ-lnx(t))dt

(2)

的研究是很多的。方程(2)所描述的种群数量x(t)渐进稳定到环境容纳量,种群没有灭绝平衡态。本文引入依均值吸引和依均值平方吸引的概念，研究了随机Gompertz方程渐进的行为。

1 预备知识和随机全局正解

定理1[9](It公式)设x(t)(t≥0)是It过程,其随机微分为dx(t)=f(t)dt+g(t)dBt，其中：f∈L1(R+,Rn);g∈L2(R+,Rn×m)。若V(x(t),t)∈C2,1(Rn×R+;R),则V(x(t),t)仍然是It过程,具有如下随机微分：dV(x(t),t)=Vt(x(t),t)dt+Vx(x(t),t)dx(t)+0.5dxT(t)Vxx(x(t),t)dx(t)。

定理2 对任意给定的初值x(0)=x0>0,系统(1)存在唯一全局正解x(t)，并且有如下表达式：

(3)

证明在方程dx(t)=rx(t)(μ-lnx(t))dt+σx(t)dBt作代换u(t)=lnx(t)。应用It公式可得：

du(t)=d lnx(t)=dx(t)/x(t)-(dx(t))2/(2x2(t))=

(rμ-σ2/2-rlnx(t))dt+σdBt=(rμ-σ2/2-ru(t))dt+σdBt。

为了研究随机解的均值,需要下列引理1。

(4)

应用上面的结果,经过如下运算可以得到：

(5)

证毕。

应用引理1和定理2可得定理3。

定理3 对任意给定的初值x(0)=x0>0,系统(1)有正解x(t)，Ex(t)和Ex2(t)，并有如下表达式：

Ex(t)=exp{e-rtlnx0+(μ-σ2/(2r))(1-e-rt)+σ2(1-e-2rt)/(4r)}，

Ex2(t)=exp{2e-rtlnx0+2(μ-σ2/(2r))(1-e-rt) +σ2(1-e-2rt)/r}。

2 依均值平方的稳定性和随机最终有界性

定理4 方程(1) 是依均值的平方全局吸引的，且对于任意给定系统(1) 的两个解x(t),y(t)对应的初值为x(0)=x0>0,y(0)=y0>0,有如下的估计：

E[x(t)-y(t)]2=[lnx0-lny0]2exp{2(μ-σ2/(2r))+σ2/r)}e-2rt+o(e-2rt),t→+∞。

证明任意给定系统(1)的两个解x(t)，y(t)对应的初值为x(0)=x0>0,y(0)=y0>0,那么,由表达式

E[x(t)-y(t)]2=[exp{e-rtlnx0}-exp{e-rtlny0}]2exp{2(μ-σ2/(2r))(1-e-rt)+σ2(1-e-2rt)/r}

可以得到定理4的结论。

定理5 方程(1)的解x*(t)是依均值的平方全局吸引的,其中,x*(t)表达如下：

随机解x*(t)有以下的性质：

Ex*(t)=exp{e-rt(μ-σ2/(4r))+(μ-σ2/(2r))(1-e-rt)+σ2(1-e-2rt)/(4r)},

Varx*(t)=exp{2e-rt(μ-σ2/(4r))+2(μ-σ2/(2r))(1-e-rt)}

{exp{σ2(1-e-2rt)/r}-exp{σ2(1-e-2rt)/(2r)}}。

证明任意给定系统(1)的两个解x(t)，y(t)对应的初值为x(0)=x0> 0,y(0)=y0>0,那么,经过运算可得：

E|x(t)-y(t)|=|exp{ertlnx0}-exp{e-rtlny0}|exp{(μ-σ2/(2r))(1-e-rt)+

σ2(1-e-2rt)/(4r)}=|lnx0-lny0|exp{μ-σ2/(4r)}e-rt+o(e-rt),t→+∞。

定理6 方程(1)是随机最终有界的。