邓严林 侯兰宝 严 政

(1.荆楚理工学院 数理学院,湖北 荆门 448000;2.长江大学 信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

特征值问题的研究一直是现代微分几何的热点问题,具有深刻的物理背景和重要的理论价值.而关于紧黎曼流形上自伴椭圆算子的特征值研究则备受关注,这是因为紧黎曼流形上椭圆算子具有离散特征值,而如何对这些特征值做出估计则是一个重要的研究课题,相关研究成果可参看文献[1-3].

近年来,关于光滑度量测度空间上自伴算子的特征值问题也受到很多人的关注和研究[4-6].所谓的光滑度量测度空间是指一个黎曼流形M匹配上一个光滑测度e-fdv,这里的f是M上的一个实值光滑函数,dv是与黎曼度量〈,〉相关的黎曼体积元,因而,通常用(M,g,e-fdv)来表示光滑度量测度空间.在(M,〈,〉,e-fdv)上,可以定义漂移拉普拉斯算子:

式中:Δ和∇分别表示M上的拉普拉斯算子和梯度算子.在光滑度量测度空间上,还可以定义权重Ricci曲率(也称为Bakry-Emery Ricci曲率)

式中:RicM是M的Ricci曲率;∇2表示Hessian算子.当κ是常数时,方程Ricf=κ〈,〉就是梯度Ricci孤立子方程,在Ricci流的研究中起着重要作用.

关于Ricci孤立子的特征值问题的研究成果,参看文献[3],还可以定义m阶权重Ricci曲率(也称为m-Bakry-Emery Ricci曲率)

当m=n时,令f为常数且Ricm=RicM.当m→∞时,Ricm=Ricf,因而权重Ricci曲率也称为∞阶的.关于光滑度量测度空间的更多细节,参看文献[7].

本文中,将研究双漂移拉普拉斯算子的特征值问题.设(M,〈,〉,e-fdv)是具有光滑边界∂M的n维紧致连通光滑度量测度空间,考虑下述方程:

式中:v是边界∂M的单位外法向量;τ是非负……