更芷拉毛，索南仁欠

(1.青海师范大学 数学与统计学院，青海 西宁 810016；2.青海师范大学 研究生院，青海 西宁 810008)

基于模糊集理论，Rosenfeld于1975年提出了模糊图，建立了模糊图的理论结构.随后许多学者对模糊图进行了深入细致的研究，定义了模糊图的强积、直积和字典乘积等运算,并总结出了模糊图乘积运算相关的分解定理和同构定理.本文将定义r-正则模糊图的交、并、补、笛卡尔积、直积、强乘积、字典乘积运算，并探讨r-正则模糊图在以上运算下是否满足封闭性等相关的性质.

1 预备知识

定义1.1[1]对于任意给定的集合V，在V×V-{(x，x)|x∈V}上定义等价关系～如下：

(x1，y1)～(x2，y2)⟺(x1，y1)=(x2，y2)或者(x1，y1)=(y2，x2).

定义1.2[1]称任意映射A：V→[0，1]为V上的模糊集.suppA={x∈V|A(x)>0}(称为A的承载集)，rangA={A(x)|x∈V}(称为A的值域).

定义1.4[3]模糊图是一个有序三元组G=(G*，σ，μ)(更多时候为了方便G*略去不写)，其中G*=(V，E)是一个无向简单图，称为基图.σ：V→(0，1]，μ：E→(0，1]，且∀e∈E，μ(e)≤σ(u)∧σ(v)，这里u，v是e的端点.

定义1.5[4]若X的两个模糊集μ和τ满足μ(x)≤τ(x)(∀x∈X)，则记μ≤τ.若两个模糊图H=(σ1，μ1)和G=(σ，μ)满足σ1≤σ和μ1≤μ，则称H是G的偏模糊子图.

定义1.8[6]模糊图G=(σ，μ)中点u的度数(degree)为dG(u)=∑uv∈Eμ(uv)(∀u∈V).

定义1.9[7]设G=(σ，μ)是以图G*=(V，E)为基图的一个模糊图，如果dG(v)=r(∀v∈V，r>0)，即G中所有顶点的度数为r，则称G为一个r-正则模糊图(r-regularfuzzygraph).

定义1.10[8]设G=(σ，μ)是以图G*=(V，E)为基图的模糊图，对∀e∈E，μ(e)=σ(u)∧σ(v)(这里u，v是e的端点)，则称G=(σ，μ)为强模糊图.

2 主要结果

其中:σ1∩σ2：V1∩V2→(0，1]，μ1∩μ2：E1∩E2→(0，1].

具体定义为：

(σ1∩σ2)(v)=σ1(v)∧σ2(v)(∀v∈V1∩V2)，

(μ1∩μ2)(e)=μ1(e)∧μ2(e)(∀e∈E1∩E2).

证明：设Gi为ri-正则模糊图(i=1，2)，μi(e)=Ci(∀e∈Ei)，C1、C2为常数.

设(G1∩G2)*为r-正则图，则对于任意的v∈V1∩V2有

因此G1∩G2为正则模糊图.

反之，设G1∩G2=(σ1∩σ2，μ1∩μ2)为正则模糊图，V1∩V2中任取两点v和w，有

dG1∩G2(v)=dG1∩G2(w)

⟹C1·d(G1∩G2)*(v)=C1·d(G1∩G2)*(w)

⟹d(G1∩G2)*(v)=d(G1∩G2)*(w)(当C1≤C2时)

或C2·d(G1∩G2)*(v)=C2·d(G1∩G2)*(w)

⟹d(G1∩G2)*(v)=d(G1∩G2)*(w)(当C1>C2时)

由于v和w在V1∩V2中的任一性，(G1∩G2)*为正则图.

推论2.1 设G=(σ，μ)是以图G*=(V，E)为基图的模糊图，若μ为常值函数且G*为正则图，则G=(σ，μ)为正则模糊图.

命题2.1 设Gi=……