邓 露，钟玉婷，杨远亮，刘艳芝

(1. 湖南大学土木工程学院，长沙 410082；2. 湖南大学建筑安全与节能教育部重点实验室，长沙 410082)

近年，冷弯型钢构件已被广泛应用于建筑、机械和航空工程等多个领域。与热轧钢构件相比，冷弯型钢构件具有轻质高强、运输安装方便、节能环保、经济高效等优点。此外，冷弯型钢截面形状在生产加工过程中，具有灵活性和多用性。这些截面形状是在室温下通过冷轧或压弯相对较薄的金属片获得的，生产工艺简单，具有极大的开发及优化的潜力。Krishnan 和Shetty[1]于1959 年首次提出纯弯曲情况下进行开口工字型截面薄壁梁优化设计能明显节约材料成本。因此通过优化冷弯型钢截面形状，能够最大限度地提高材料利用效率以满足特定目标。

由冷弯型钢构造的最常见的结构体系是剪力墙体系，主要用于住宅建筑，使用截面尺寸小的超薄构件和半刚性连接是导致剪力墙体系局部过早失效和延性差的主要原因[2]。所以对于冷弯型钢，有必要像热轧钢一样开发框架体系，不仅空间布置更灵活，与传统剪力墙体系相比也具有更好的承载力、抗震性能[3]。传统的由单个构件形成的框架体系，其连接处具有较好的延性，而梁柱保持弹性，不能产生足够的延性以获得高抗震性，所以在高震区仅限于单层住宅[4]。近年来，随着冷弯型钢框架体系从低层到多层的不断发展，这类结构对冷弯钢构件的承载力要求越来越高，与此同时，对构件延性的需求也在不断增大。

Wong 和Chung[5]提出了背靠背形式的双肢拼合C 型钢并开展了一系列相关试验，结果发现该截面构件表现出不可忽略的延性和耗能，但其宽厚比并不满足高抗震区设计要求。Sabbagh 等[6]发现双对称弯曲翼缘截面比双拼C 型钢截面具有更好的强度、刚度和延性，然而考虑到制造和施工限制，这类截面不能广泛应用。Ye 等[7]开发了一种折叠翼缘截面，承载力比双拼C 型钢高出57%，且有平翼缘，方便与楼板连接，比弯曲翼缘更实用。陈明等[8]将冷弯C 型钢拼合成I 形、L 形、T 形或十字形等组合截面，提高了构件承载力，整体框架抗震性能更佳。随着计算机技术的发展，学者们通过引入遗传算法、粒子群算法等开展了更多截面优化的研究[9-10]。

本文选用具有较好屈曲后性能的腹板翼缘加劲截面和腹板加劲的折叠翼缘截面，优化截面尺寸以提高其在单调荷载作用下的承载力及延性。在一定的优化约束条件下，采用已被验证的有限元模型对这两种截面进行几何、材料非线性分析，且考虑了初始缺陷的影响，再结合神经网络、遗传算法对截面尺寸进行优化，最后采用TOPSIS 决策出最优截面尺寸。

1 有限元分析

于欣永等[11]发现在卷边槽钢的受压翼缘中间设置加劲肋可以提高构件稳定性。Ye 等[7]开发出的折叠翼缘截面，承载力比双拼C 型钢高出57%。但截面翼缘弯折使腹板和翼缘夹角增大，翼缘对腹板支撑减弱，可能导致腹板过早屈曲。因此本文在折叠翼缘截面的基础上设置腹板加劲肋，对图1所示的腹板翼缘加劲的槽钢截面及腹板加劲的折叠翼缘截面开展进一步的优化分析。

图 1 截面形状Fig.1 Cross-sectional shapes

1.1 有限元模型

Haidarali 等[12-14]发现，当采用合适的单元类型、材料参数及缺陷引入方法，利用ABAQUS有限元分析模型就可以精准预测冷弯构件的承载力及屈曲后行为。本文使用已经过试验验证的有限元模型[15]，将3 m 长的横向抗弯框架简化为1.5 m长的悬臂梁，边界条件、加载点和约束情况如图2所示。为了防止侧向扭转，对悬臂梁两端及中间截面的翼缘和卷边进行横向约束，用绑定约束连接两端及中间截面的腹板，端部施加150 mm 的竖向位移(相当于0.1 rad 转角)。构件采用S8R5单元模拟，单元尺寸为20 mm×20 mm。构件选用Q345B 钢种，其本构模型采用双线性应力-应变模型，弹性模量E 取200 GPa，第二模量Es=E/100，泊松比ν=0.3，屈服强度Fy= 427 MPa，极限强度Fu= 593 MPa。有限元模型中考虑了几何缺陷的影响，在一阶屈曲模态基础上引入初始缺陷大小，当壁厚t<3 mm 时，依据Schafer 和Pekӧz[16]的研究，局部及畸变几何缺陷大小分别为0.34t和0.94t。

图 2 有限元模型Fig.2 Finite element model

1.2 截面延性

欧洲规范依据受弯构件的承载力及变形能力将截面分为4 类[17]，Ⅰ类、Ⅱ类截面可以达到塑性弯矩，Ⅲ类、Ⅳ类截面则无法达到。尽管冷弯薄壁型钢截面不能达到塑性弯矩，无法形成塑性铰，属于后两类截面，但陈以一等[18]研究表明非塑性铰截面构件的塑性性能也是可以考虑利用的。本文将构件承载力和延性作为优化目标，依据FEMA-356[19]等效双线性模型(EEEP)计算延性，延性计算公式为：

式中：μ为延性系数；θt为目标转角，其取值为是真实弯矩-转角曲线上极限弯矩下降20%所对应的转角值[20]；θy为屈服转角，其取值为理想双线性模型上屈服弯矩对应的转角值，理想双线性模型弹性阶段的直线斜率由真实曲线上0.6My的点确定。

2 优化约束条件

2.1 承载力和延性要求

冷弯型钢达到极限承载力后，具有承载力及刚度退化的特征，因此在对图1 中截面进行优化时，综合考虑承载力-延性的条件：程欣[21]综合实验及数值分析结果发现，非塑性铰截面的极限抗弯承载力并非都大于边缘屈服弯矩，且延性大多在2～3，故要求非塑性铰截面的承载力M 能够超过边缘屈服弯矩My，达到极限后仍有一定的非线性变形能力且承载力不发生急剧退化，使框架内力重分布变成可能；并将延性μ=3 作为延性类别的分界，认为μ<3 的构件变形能力较差，不能用于抗震设计。当μ>3 时，以保证构件在达到极限荷载后，可以继续抵抗一定的荷载。所以本文优化的承载力和延性要求分别见式(2)和式(3)：

2.2 尺寸约束

本文旨在保证材料成本相当的情况下，即截面面积不变时，优化冷弯薄壁型钢的截面尺寸，最大限度地提高其承载力和延性。因此，规定表1所示的两种截面与图3 所示的商业常用截面具有相同的材料和厚度，其厚度选取为1.5 mm，截面总长度为410 mm。需要注意的是，因为表1 中各变量需满足截面总长度一定的限制条件，所以腹板高度不作为独立设计变量。Ye 等[7]研究发现折叠翼缘截面内角为105°，外角为95°时结构承载力高，因此固定截面角度大小不变。其中，加劲都由两个夹角为60°，边长为10 mm 的肋组成。

表 1 所选截面、设计变量和约束Table 1 Selected prototypes, design variables and constraints

图 3 商业常用截面尺寸 /mm Fig.3 Dimensions of commercial commonly used cross section

除了材料限制外，截面尺寸同时需满足欧洲规范EN1993-1-3[22]中尺寸限值及制造约束，并考虑实际使用情况[7,15,23-24]。对于腹板翼缘加劲截面，根据EN1993-1-3[22]规范中的要求，需满足0.2≤c/b≤0.6；为使楼板能和梁通过螺栓连接，平翼缘(截面1 中“b”及截面2 中“e”)最小宽度应为50 mm；因为过小的卷边无法轧制或压弯成型，所以卷边(截面1 中“c”及截面2 中“d”)最小长度为15 mm；为便于与其他构件连接，腹板h 最小高度为100 mm；为控制楼板深度，截面深度最大为350 mm；为了给腹板留下足够高度，对于截面2，折翼缘需控制为f≤48 mm。

3 优化框架

3.1 问题描述

鉴于成千上万次的有限元计算，有限元模型被进一步简化成单个槽钢[15]，单元类型、材料、约束、边界条件等都与1.1 节一致。从承载力和延性的角度出发，利用人工神经网络和遗传算法对表1 所示的两种截面形式进行优化，优化过程如图4 所示，其中M 是承载力，μ是延性，优化目标是使承载力和延性最大化，定义如下：

图 4 优化流程图Fig.4 Flowchart of the optimization process

首先，从表1 中给出的设计变量空间内任意选择样本点，ABAQUS 依据这些尺寸建模，在后处理模块得到承载力M 和延性μ。其次，构建输入(截面尺寸)和输出(承载力、延性)的神经网络，分别推导出承载力和延性的目标函数，如果这些函数响应是准确的，根据式(4)，利用遗传算法最大化承载力和延性的目标函数以获得一系列帕累托解，再用TOPSIS 决策出最优截面尺寸。否则，从表1 给出的设计变量空间中选择新的样本点，重复以上步骤，直至找到正确的最优解。

3.2 神经网络

人工神经网络是对人脑或生物神经网络的抽象和模拟，分为输入层、隐藏层、输出层3 部分，每层神经元通过连接权重彼此联系。通过合适的训练步骤，人工神经网络就能以一定的精度合理预测输出值[25-26]。本文使用BP 算法，是目前应用最为广泛的神经网络模型之一。具体步骤如下：

首先，根据有限元建模结果准备数据。截面尺寸为输入数据，M、μ为输出数据，为了给本研究中的优化问题提供输入输出数据，从表1 中各截面尺寸的约束范围内均匀选择样本点。在各变量设计空间内，每隔2 个单位取一个样本，采用全因子设计，ABAQUS 依据这些样本尺寸建模，得出M 和μ作为输出数据。为了防止过拟合，这些样本主要是用于训练、测试、验证3 个部分，70%的样本用于网络训练，剩余30%用于测试，最后所有样本都用于验证网络精度。

其次，构建合适的神经网络。本文最终建立的神经网络共有3 个隐藏层，隐藏层神经元个数依次是17、5、19，第1 层隐藏层激活函数采用S 型的对数函数，第2、3 层则采用双曲正切函数，输出层使用线性函数，每种截面有2×X 个神经网络(承载力有X 个，延性有X 个)，X=17(第一个隐藏层神经元个数)×5(第二个隐藏层神经元个数)×19(第 三 个 隐 藏 层 神 经 元 个 数)×N(自 变 量个数)。

最后，使用均方误差来验证神经网络的准确度，均方误差的公式是：

神经网络拟合腹板翼缘加劲截面的承载力和延性曲面如图5 所示，红点代表被用于训练的样本，蓝点代表被用于测试的样本，紫色线段长度代表误差大小。对于腹板翼缘加劲截面，承载力、延性误差分别为0.21%、0.49%；对于腹板加劲折叠翼缘截面，承载力、延性误差分别为1.38%、1.97%，结果表明所构造的神经网络具有较高精度，可以用来预测冷弯薄壁型钢的承载力和延性。

3.3 遗传算法多目标优化

图 5 神经网络拟合腹板翼缘加劲截面的承载力和延性曲面Fig.5 The bearing capacity and ductility surface of channel with web and flange stiffeners fitted by the neural network

遗传算法是一类借鉴生物界进化规律(适者生存、优胜劣汰)演化而来的随机搜索算法，非常适用于处理复杂的非线性优化问题，易于并行化，鲁棒性高[27-28]。该方法用适应度函数来评估个体，依据适应度值选择个体，再对被选择的个体进行交叉、变异操作，使种群中个体之间进行信息交换以得到新的个体，重复此类操作，种群不断进化，直至满足条件为止。遗传算法中各参数设置如表2 所示。

表 2 遗传算法参数Table 2 Parameters in genetic algorithm

3.2 节已阐述通过建立神经网络寻找截面尺寸与承载力、延性的关系，用这种关系作遗传算法中的适应度函数，为式(4)中定义的优化问题生成帕累托解(如图6)。对于帕累托解，在改进任意目标的同时，至少会削弱一个其他目标的解，就存在目标之间相互冲突和无法比较的现象，因此再用TOPSIS 综合评价方法找出帕累托解中的最优解。

图 6 帕累托解Fig.6 Pareto frontiers

TOPSIS 是从多个解决方案中决策出最优方案的常用方法。基于归一化后的原始数据矩阵，给定每个目标的权重，构造规范化的加权决策矩阵，再分别定义每个目标的最优解与最劣解，决策问题的理想解即各目标最优解的合集，非理想解即最劣解合集，然后分别计算每个方案(帕累托解)与理想解和非理想解间的距离并排序，距理想解越近，而距非理想解越远，则越优。

4 寻优结果与讨论

4.1 寻优结果

图5 已经给出了腹板翼缘加劲截面的承载力、延性随几何参数c 和b 的变化情况，如图5(a)所示，增大c 或b，M 的值减小，由表3 也可知，当承载力最大时，腹板翼缘加劲截面c 和b 分别取EC3 规范规定的最小值15 mm 和50 mm，可以为腹板提供足够高度；同样，腹板加劲的折叠翼缘截面承载力最大时，d 和e 也取最小值。因此，对于这两种截面，增加腹板高度可以提高承载力。很明显增加腹板高度，则增加了截面惯性矩，故截面承载力提高。

腹板翼缘加劲截面的延性随c 和b 变化情况如图5(b)所示。当翼缘宽度b 较小时，延性出现峰值，随着翼缘宽度增加，延性大致减小；由表3可知，腹板加劲的折叠翼缘截面延性最大时，平翼缘宽度e 也取较小值且折翼缘长度f 取EC3 要求的最大值48 mm，增大f 不仅可以加大截面深度，且控制了平翼缘宽度。因此，对于这两种截面，当平翼缘宽度(腹板翼缘加劲截面中“b”及腹板加劲折叠翼缘截面中“e”)较小时，可以延缓畸变屈曲的发生，延性较大。而平翼缘宽度并非取最小值50 mm，是因为本文控制截面周长一定，若平翼缘取最小值，则腹板或卷边长度较大，易发生局部屈曲导致延性降低。

表 3 承载力或延性最大值对应的截面尺寸Table 3 Cross-sectional dimensions corresponding to the maximum bearing capacity or ductility

依据表3 可知，当周长一定时，改变截面尺寸，冷弯薄壁型钢承载力没有太大变化，而延性变化较大，相比承载力，延性更为重要，因此根据各目标的重要性，本研究给定如下权重：WM=0.5 且Wμ=0.5，WM=0.4 且Wμ=0.6，WM=0.3 且Wμ=0.7，其中WM是承载力的权重，Wμ是延性的权重。不同权重下截面尺寸最优解见表4，对于不同的权重，最优解是相同的，而且是表3 中延性最大时的截面尺寸，足以见得延性的重要性。

为进一步考虑ANNs-GA 模型的精度，用ABAQUS 模拟了表4 中最优截面的构件(见表5)。对比表4 和表5，ABAQUS 计算得出的承载力、延性与ANNs-GA 预测结果的平均误差在1%以下，表明本文使用的ANNs-GA 模型能够较好的预测结构承载力及屈曲后行为。由表5 可知，腹板翼缘加劲截面、腹板加劲的折叠翼缘截面的承载力分别比商业常用截面高出22.33%、23.01%，延性分别高出213.73%、216.67%。可见对于1.5 mm的冷弯薄壁型钢，设置加劲肋是非常有效的措施，加劲肋能够有效地抑制截面失稳，导致峰值力矩略微增加，同时还能延迟和减轻屈曲导致的刚度退化，显著增大结构的延性。此外，优化后的截面具有较小的翼缘宽度，进一步延缓了畸变屈曲的发生，所以优化后截面的延性比商用截面高出2 倍多。优化后的腹板加劲折叠翼缘截面的承载力和延性稍微大于腹板翼缘加劲截面，主要因为翼缘间相互支撑，弯曲刚度大，在折叠翼缘截面基础上，腹板加劲也有助于解决翼缘腹板夹角过大对腹板支撑减弱的问题。通过简单地优化截面尺寸，可以显著提升结构性能，且优化后腹板翼缘加劲截面屈服强度为16.01 kN·m，承载力为18.02 kN·m，延性为3.2，腹板加劲的折叠翼缘截面屈服强度为17.8 kN·m，承载力为18.12 kN·m，延性为3.23，两种最优截面满足2.1 节中承载力大于屈服强度、延性大于3 的条件。

表 4 神经网络-遗传算法模型预测结构在不同优化方案下的最优解Table 4 Optimum solution of the structures predicted by ANNs-GA models for the different optimization scenarios

表 5 优化后截面与商用截面承载力、延性对比Table 5 Comparison of bearing capacity and ductility between the optimized sections and the commercial section

4.2 钢材强度等级对结构性能影响

在表4 中两种最优截面的有限元模型基础上，改变冷弯薄壁型钢强度等级，分别采用Q235、Q345 和Q420 钢种，钢材屈服强度和抗拉强度如表6 所示，其余参数与1.1 节有限元模型一致。分析钢材强度等级对构件性能的影响，结果如表6和图7 所示。由表6、图7 可知，增大钢材强度等级能够显著提高构件抗弯承载力，对延性影响较小。对于腹板翼缘加劲截面的构件，当钢材强度等级从Q235 增大至Q345、Q420 时，其抗弯承载力分别增加40.4%和68.1%；对于腹板加劲的折叠翼缘截面，当钢材强度等级从Q235 增大至Q345、Q420 时，抗弯承载力分别增加38.5%和62.9%。故钢材强度等级对构件抗弯承载力影响较大。对于不同强度等级的钢材，文中4.1 节所提2 种截面构件的抗弯承载力及延性随尺寸变化的趋势是相同的。

表 6 不同强度等级下有限元分析结果Table 6 FE analysis results of members with different steel grade

图 7 不同钢材强度等级下构件弯矩-转角曲线对比Fig.7 Comparison of moment-rotation curves of members with different steel grade

4.3 截面参数控制

研究发现承载力、延性好的构件其破坏模式为畸变屈曲和固定端附近局部屈服，这说明控制构件的破坏模式基本上控制其承载力和延性的表现。为推广冷弯型钢的应用，可以采用设置加劲肋的措施防止腹板局部失稳，并通过控制截面尺寸防止翼缘失稳。同时，我们发现腹板翼缘加劲截面和腹板加劲的折叠翼缘截面的抗弯承载力都大于边缘屈服弯矩，满足式(2)要求。为了满足式(3)的要求，在3.2 节所述的样本中找出满足μ=3 的截面尺寸临界值。若样本点不通过μ=3，则采用插值法确定μ=3 时的卷边、翼缘尺寸，拟合出μ=3 时翼缘、卷边相关关系表达式R、Q。结合表1中设计变量要求，得出两种截面的优化设计式(6)和式(7)。当截面尺寸满足式(6)和式(7)的要求时，则μ≥3。

对于腹板翼缘加劲截面，需满足：

式中：R 为该截面翼缘宽度上限值。由4.1 节寻优结果可知，构件延性随着翼缘宽度增加而减小，腹板翼缘加劲截面的翼缘取较小值时，构件延性最大。因此翼缘宽度b 需小于式(6)中临界值R。由R 的计算公式可知，翼缘宽度最大限值随卷边长度c 增加而增大。根据优化结果，对于1.5 mm 厚的冷弯型钢，建议该截面卷边长度c 控制在25 mm～43 mm，随着冷弯型钢厚度增加，卷边限值可适当放宽。

对于腹板加劲的折叠翼缘截面，需满足：

式中：Q 为该截面折翼缘长度下限值。由4.1 节寻优结果可知，构件延性随折翼缘长度增加而增大，腹板加劲的折叠截面的折翼缘长度f 取最大值48 mm 时，构件延性最大。因此折翼缘长度f 需大于式(7)中临界值Q。由Q 的计算式(7)可知，折翼缘长度的最小限值随卷边长度d 增加先减小后增大，受平翼缘宽度e 影响较小。根据优化结果，对于1.5 mm 厚的冷弯型钢，建议该截面卷边长度d 控制在23 mm～30 mm，随着冷弯型钢厚度增加，卷边限值可适当放宽；平翼缘宽度e 满足表1 要求，在50 mm～60 mm。

5 结论

本文对腹板翼缘加劲截面及腹板加劲折叠翼缘截面的承载力、延性进行了研究，这些指标对于冷弯型钢的推广应用至关重要。利用非线性有限元ABAQUS 建立了经试验验证的模型，获得了单向弯曲下的承载力、延性；利用人工神经网络和遗传算法，考虑三种不同的情况的权重：WM=0.5 且Wμ=0.5，WM=0.4 且Wμ=0.6，WM=0.3 且Wμ=0.7，对这些截面尺寸进行优化，该方法预测误差小于2%，可以准确预测冷弯型钢的承载力及屈曲后行为。主要得出以下结论：

(1)提高钢材强度等级能显著增大构件的抗弯承载力，对延性影响不大。当截面面积和钢材强度等级不变时，同一类型不同尺寸的截面，其承载力差别不大，而延性却有较大差别，可见改变截面尺寸对提升延性性能至关重要。综合考虑承载力、延性条件，在上述不同权重下，最优截面均为延性最大时对应的截面尺寸。

(2)对本文选定的腹板翼缘加劲截面和腹板加劲的折叠翼缘截面，增加腹板高度可提高承载力；采用较小的平翼缘宽度可以提高结构延性。此外，对于腹板加劲的折叠翼缘截面，延性最大时，折翼缘长度取最大值48 mm。文中给出了满足所提出的承载力、延性条件下，两种截面尺寸的优化设计公式。

(3)相同截面面积时，腹板加劲折叠翼缘截面的承载力、延性都优于腹板翼缘加劲截面，且前者优化后截面的承载力、延性比同等材料的商用截面分别高23.01%、216.67%，是较为理想的截面形式。

(4)对于厚度为1.5 mm 的冷弯薄壁型钢，增加加劲肋既提高了极限承载力，又减轻了屈曲后刚度退化，可以大幅度提高延性，是非常有效的措施。