赵爱民，任晓晓，刘桂荣

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

肺结核是由结核杆菌引起的一种慢性传染病。全球每年有800万～1000万新发结核病例，其中致死病例越300万。对肺结核传播模式和传播规律进行研究具有非常重要的现实意义。肺结核具有潜伏期，潜伏时间因人而异，在潜伏期间，患者携带结核杆菌但不具有传染性。一旦患过肺结核病将终身免疫[1-3]。

预防结核病最有效的措施是接种疫苗。虽然接种疫苗会有效预防肺结核，但是接种后并不会终身免疫，只是降低了肺结核的感染率，接种者仍然具有被感染的风险。由于卡介苗免疫是活菌免疫，所以在人体内存在一段时间之后，人体内活菌减少，就会丧失免疫。考虑疫苗作用，建立肺结核传播模型，研究了无病平衡点和地方病平衡点的存在性与稳定性[4]。肺结核患者咳嗽、打喷嚏或者大声说话时，会向空气中排出携带结核杆菌的飞沫。结核杆菌生存能力很强，悬浮于空气中的结核杆菌可以存活9个小时以上，黏附在尘埃上可以保持传染性8～10天，在干燥痰中能够存活6～8个月。基于这种机理，考虑环境污染对肺结核传播模式和规律的影响，得到了平衡点的稳定性[5]。事实上，接种疫苗与环境传播在肺结核传播过程中都起着重要作用。因此，本文同时考虑接种疫苗以及环境传播，建立模型对肺结核进行研究。

1 模型建立及分析

首先，根据肺结核的发病机制[6-7]，把人群分为如下几类：易感者，接种疫苗者，潜伏者（携带病菌但不具有传染性），染病者和恢复者，用S（t），V（t），E（t），I（t），R（t）分别表示t时刻易感者，接种疫苗者，潜伏者，染病者和恢复者的数量。……