常学武，李晓娜

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

本文只考虑有限群，特征标定义在复数域上。为叙述本文的研究问题和背景，我们需要先概述Gajendragadkar[1]引入的两类重要特征标。

设G为π-可分群，π为素数集合，χ∈Irr(G)为G的一个不可约复特征标。如果χ(1)为π-数，并且对G的每个次正规子群S以及χS的不可约分量θ∈Irr(S)，均有θ的行列式阶o(θ)为π-数，则称χ为π-特殊的特征标，简称为Xπ-特征标，全体记为Xπ(G)。因为G同时也是π'-可分群，故可类似定义π'-特殊的 特征标 ，亦称 为 Xπ′-特征标，全 体记为Xπ′(G)。

下述乘积定理也许是π-特殊的特征标最为基本而重要的性质，亦可见Isaacs最新教材[2]中定理2.2。

Gajendragadkar乘积定理设G为π-可分群，如果α，α'∈ Xπ(G)，而β，β'∈ Xπ′(G)，则αβ∈Irr(G)，进而，如果还有αβ=α'β'，则α=α'，β=β'。

一般地，如果χ∈Irr(G)存在分解χ=αβ，其中α∈Xπ(G)而β∈Xπ′(G)，则称χ为G的一个π-可分解的特征标，简称为Fπ-特征标。G的所有Fπ-特征标的集合记为Fπ(G)。根据上述乘积定理，如果χ∈Fπ(G)，则其因子α和β均由χ唯一决定，分别称之为χ的π-特殊因子和π'-特殊因子。在本文中我们依次记为χπ和χπ'。

目前人们已经发现和证明了很多关于Xπ-特征标和Fπ-特征标的重要性质和定理，并且获得了广泛应用，特别是Isaacs据此创建了π-特征标的理论。仍设G为π-可分群，其中π为某些素数的集合，记为G0的G所有π-元素的集合，称G0上的复值类函数φ为G的一个π-部分特征标，如果存在G的特征标χ∈char(G)使得φ=χ0为χ在G0上的限制。如果一个π-部分特征标不能写成两个π-部分特征标的和，则称为不可约π-部分特征标，简称为Iπ-特征标，全体记为Iπ(G)。根据著名的FongSwan定理，当π=p'时，则Iπ(G)恰为 IBrp(G)，即不可约的π-部分特征标等同于关于素数p的Brauer特征标。……