邱春晖

(厦门大学数学科学学院，福建 厦门 361005)

1941年Hodge[1]提出了著名的Hodge定理:在任一紧致可定向的Riemann流形M上，所有次数等于p的调和形式组成的空间是一个有限维的向量空间，它的维数就是流形M的第p个Betti数.Hodge定理说明了M上的解析不变量等于拓扑不变量，不仅大大增强了对代数流形的理解，也将分析和拓扑意想不到地紧密联系起来，对这两大数学分支的迅速发展起着重要的作用.因此，著名数学家Witehead曾说过Hodge定理是20世纪最重要的定理之一.整体Riemann几何的基础工作之一是调和形式的Hodge理论.

熟知，Laplace算子在微分几何的调和积分理论和Bochner技巧中起着重要的作用.有关Kähler几何的调和积分理论，可参考文献[7-8].20多年来，在著名数学家陈省身先生的倡导下，实和复的整体Finsler几何取得了很大的进展[9-10].陈省身[11]指出：“Finsler几何可能在复域上是最有用的，因为每一个有边或无边的复流形都存在Carathéodory和Kobayashi拟度量.在适当(虽然有点严格)的条件下，它们都是C2度量，最重要的，它们自然都是Finsler度量.复Finsler几何是极其美丽的.”陈省身[12]还指出:“将调和积分理论推广到Finsler情形，将是微分几何研究的一块新园地，预计前景无限.”

研究Finsler流形上的调和积分理论和Bochner技巧的关键是定义一个适当的Laplace算子.目前，实和复Finsler流形上的Laplace算子取得了一些成果[13-23],但复Finsler流形上Laplace算子还没有统一的定义，主要有3种定义方法:第1种是在底流形M上定义Laplace算子[16,20-22];第2种是在全纯切丛T1,0M或射影丛PT1,0M或球丛SM上定义Laplace算子[17,19,23];第3种是定义均值Laplace算子[18].

1 复Finsler流形M上的……

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