四川 高继浩

【例1】(2019·全国卷Ⅰ文·20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.

(Ⅰ)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(Ⅱ)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.

解析：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)当x=0时,不等式恒成立.

又因为g(π)=0,所以a≤0.综上,a≤0.

高中数学人教A版必修1教材第101页阐述了指数函数、对数函数和幂函数的增长速度快慢,其实对于给定的函数是可以进行严格证明的,例如：

证明：令f(x)=2x-x2,则f′(x)=2xln2-2x,令g(x)=f′(x),则g′(x)=2x(ln2)2-2.当x∈(4,+∞)时,g′(x)>24(ln2)2-2=4(ln4)2-2>0,故g(x)在(4,+∞)上单调递增,从而g(x)=f′(x)>f′(4)=8(ln4-1)>0,

【例2】(2018·全国卷Ⅱ理·21)已知函数f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1,证明：当x≥0时,f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.

解析：(Ⅰ)证明略.

点评：教材对几类函数增长速度快慢的呈现是通过图象直观感受的,在解答题中的运用应上升到理性认识.命题(※)表明y=ex的增长速度远快于y=x2,即当x→+∞时,ex远大于x2,故本题中当x→+∞时,g(x)→+∞.其他函数可以类似地证明.

3.换元转化法求解0·∞型

【例3】若函数f(x)=xlnx-a有两个零点,求a的取值范围.

4.比较大小法求解∞-∞型

【例4】若方程xlnx-2xex+x2ex=ax-1有两个不相等的实数根,求a的取值范围.