文江苏省无锡市西漳中学七（15）班 段刘宇

在“平面图形的认识（二）”中，我们用从特殊到一般的方法，依据“三角形的内角和是180°”得出多边形内角和的一般结论：180°⋅（n-2）（其中n为多边形的边数）。教材上是从四边形开始，通过添加辅助线，把四边形分成2 个三角形，把五边形分成3 个三角形，把六边形分成4 个三角形……然后一般化，把n边形分成（n-2）个三角形，最终获得结论（当然分割转化的方法不唯一）。

教材上研究的都是凸多边形。凸多边形指如果把多边形的任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同一旁的多边形。凸多边形的内角没有一个是优角（大于180°且小于360°的角），如图1。凹多边形指把一个多边形的某条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不全在此直线的同一旁的多边形。凹多边形的内角中至少有一个优角，如图2。凹多边形的内角和也是一样的结论吗？

图1

图2

我们可以先回顾一下探究凸多边形内角和的方法，然后将同样的办法迁移到探究凹多边形的内角和中。

图3

以凹四边形为例，如图3。连接点A和点C，线段AC把这个凹四边形分为两个三角形，这两个三角形的内角和就是这个凹四边形的内角和，即2×180°=360°。看到这个结果，我们不由自主地猜想：凹多边形的内角和公式会不会跟凸多边形的内角和公式一样呢？多举几个例子，如表1。

表1.只含1 个优角的凹多边形的内角和情况

这样，我们就更有理由归纳一般性规律，即凹n边形内角和为180°⋅（n-2）（其中n为多边形的边数），这与凸n边形的结论一样。