谢祥云

(五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门529020)

1 引 言

从数学的发展历史来看，线性代数历史悠久，我国古代的数学著作《九章算术·方程》就有解方程的记载. 但是以现代形式呈现的线性代数学和19世纪发展起来的抽象代数学是密不可分的，线性代数的两大重要的工具行列式和矩阵理论的发展有力地推动了线性代数的发展.笛卡尔在建立坐标系后，将代数方法和几何观点有机地联系起来，给代数方法处理几何问题铺平了道路.

我们知道，冯·诺依曼体系下的计算机技术处理现实生活中的非线性问题都是通过线性逼近来解决， 在一定程度上说线性问题在数学问题中是相对简单的问题，也是浩瀚的数学理论海洋中应用得最完美的一门数学理论.所以线性代数是大学非数学类工科和管理科学类专业最重要的数学基础课之一，是数学二级学科代数学中较为基本的内容.

由于线性代数它以变换为核心，以矩阵为工具，以学会解线性方程组为基本呈现的数学课程.它的抽象性是不言而喻的，老师如何教，学生如何学都是很多学者感兴趣研究的事，这方面的文献也多，例如[1-9，11-16].本文根据笔者在地方高校三十多年学代数，教代数的经历，在分析地方工科院校线性代数教学现状的基础上，认为地方工科院校线性代数教学应该强化几何化背景.基于此我们以下从几个方面去谈地方工科院校线性代数教学，目的是为了学生更好地理解和掌握这门数学工具.

2 地方工科院校线性代数教学的现状分析

从1977年恢复高考后中国高等教育大背景为本文论点的时间起点，谈线性代数教学，主体不外是学生、教师、教材、学时以及教学方法等几个方面.根据百度数据，截至2019年6月15日，全国高等学校共计2956所，其中：公办本科院校817所，民办本科院校417所.除军事院校外，根据教育部大的分类，这些本科高校分为教育部直属高校，各部委和地方共建的高校和地方高校，从数量上看地方高校占大多数且很大一部分是按照教育部要求以应用型人才培养为根本目的的.但是地方应用型高校线性代数教学现在总体现状是重理论，轻应用；重理论体系的完整性，轻产出为导向的工程实践；重公理体系下的教材建设，轻几何体系的教学设计；重传统课堂，轻新技术的应用.具体表现为：

(i)学生.改革开放以来，我国的高等教育从千军万马过独木桥的录取率在百分之十几的精英教育发展到现在录取率达百分之八十多的大众教育，需要线性代数教学的国民全日制学历教育学生的类型发展为四个层次，也即通常所说的一本、二本、三本(独立学院)和职业技术学院的专科层次，学生的学习能力和水平差异非常大. 随之而来的高校教学理念、方法和手段等都将有所改变.大多数地方高校学生对抽象的问题的接受力和理解力偏弱，在现行的高考体制下，他们更关注知识的掌握，创新教育和创新思维没有形成一种氛围和时尚，很多学生总希望老师是多讲解、多复习、划重点，目的是为了通过考试，至于为什么学关心得不够.

(ii)教师.通过几十年的发展，高校教师队伍发生了翻天覆地的变化，较发达地区地方本科院校教师队伍中百分之三十多以上都具有了博士学位，硕士博士学位教师占比达70%以上，教师的科研水平是毋庸置疑的.问题是各地方高校对本科教学本质上的重视程度表现不一，课堂教学的地位没有得到应有的提高，教学质量不高；本科及本科以上高校教师重科研、轻教学探索与实践的现象普遍存在，因为大家都清楚教学上花功夫不是很快能见效的，不如写几篇SCI论文评职称实惠，因此教师的注意力和精力难免就转移到非教学科研上.需要特别指出的是不是科研能力强的老师就是一个懂教学的教师，这要有个转化的过程，也即如何将最新的科研成果转化为课堂教学，这需要花时间研究与实践的.我们也看到有一批老师在积极关注线性代数教学，提出了很多好的建议和方法[2-16， 24]，但不可否认教师中读PPT，照本宣科，不关注实际，不讲授线性代数的背景不是一个小群体.

(iii)教材.现在大学生无疑是幸福，只要愿意学习，市场和图书馆给予他们非常多的选择.关键是在具体的教学活动中老师们能否因材施教，因材选教，老师所在学校大的教学环境等都会影响课堂教学效果和学生学习效果.关于教材主要有三种类型：其一，大家都清楚，1977年恢复高考后的二十多年里，线性代数(高等代数)的教材大部分还是沿袭前苏联的教育教学模式的教材，高度关注线性代数的抽象理论，教材的编写顾及知识体系的完整性，不太关注知识在工程实践中的具体应用，代表性的教材有北大版的《高等代数》(已经出了第四版)[18]和同济大学的《线性代数》(已经出了第六版)[19]， 这些教材影响了几代人，现在仍然是大部分地方高校的首选教材. 其二，近二十年来随着我国改革开放，大量西方教材引入国内，而几十年来计算机软硬件的飞速发展，线性代数重要应用扩大到了愈来愈多的新领域， 同时也受到数学建模在国内开展的影响，人们对工科线性代数的教学在掌握必要理论的同时，更加关注知识的应用，不过分强调知识体系的完整性，将线性代数的大量计算和运算技巧的数学专门化知识交给了机器去完成，如陈怀琛教授编写的《实用大众线性代数(MATLAB版)》[17]，也有一些学者对基于MATLAB三维线性代数实践教学开展一些实践[4-7，12].其三，从学生能更好地理解线性代数，以几何背景开展几何化的线性代数教学[2-4，11-12]. 从这个观点出发，学生学习线性代数时可以类比现实的几何空间.在教材编写上也做了一些尝试，特别是数学专业教学，将高等代数与空间解析几何融合为一本教材，一门课合并讲授[13，20，21].

(iv)学时.在地方高校，一般的工科专业线性代数为2-3学分，学时在32-54不等，32学时的地方高校在传统的教学课堂利用传统的教材，一般是讲授不完整后继的工科相关课程的教学需求的全部内容.

(v)教学法.选一本适合自己教学对象的教材就像是拿到了一个好的剧本，能否变成一台好戏还要看有没有好的导演和演员.这台教学大戏从教师的角度看，就是有没有好的教学法.如何上好一堂数学课，仁者见仁，智者见智.总的来说需要老师用心教学，关注学生的反映和接受能力，实时调整教学方式，以学生为中心，以教学产出为导向.现实中，往往是不尽人意的，上课用出版社提供的做好的PPT，对着PPT讲一遍，甚至极少板书，布置几道练习，一次课就过去了.由于是大班上课，作业可能都不改或改极少一部分，最后一张闭卷考试卷，平时和期末考试占一个比例学生成绩出来，一门课也就结束了.特别是很多职业技术学院选择的教材也是基于公理体系下的线性代数教材，学生学了一些名词，学完了不知道怎么用.可喜的是人们已经在逐步探索创新教学模式，例如加开了线性代数实验课，将现代教育技术应用于现代课堂等等.

3 重新梳理线性代数的知识结构

要找到一个好的针对地方工科院校学生的线性代数教学法，首先必须弄清楚线性代数的知识体系和形成的背景.我们知道，大学数学专业高等代数教学内容由多项式理论和线性代数构成，除了一些更加专业的空间理论和矩阵论外，其他教学内容和工科专业线性代数几乎一致，不外是工科线性代数弱化了数学专业高等代数的教学要求而已.现在教科书大部分都是按照行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型、欧式空间这样的知识体系来布阵，需要说明的是关于线性空间(欧式空间)的公理化定义大部分工科教材均简化为向量空间非公理化处理或者没有引入.这样布局从知识形成的历史角度当然有它的道理，同时在讲授知识时需要合理引用，讲授知识A，需要B，当然B就得在前面先行讲授.实际上线性代数的知识体系主要从以下三个方面构建.

(i)代数观点.在前面说过，线性代数历史悠久，在日本数学家关孝和和范德蒙(Van der monde)奠定了行列式理论之后，并在进一步发展的同时，1849-1900年左右，德国数学家雅各比(Jacobi)、在英国数学家剀莱 (Arthur Cayley)、法国数学家若当 (Jordan， Camille)、英国数学家希尔维斯特 (Sylevester)、德国数学家佛洛宾纽斯 (Frobeniws) 以及德国数学家克罗内克(Kronecher)和英国数学家道奇生(Dodgson) 等人推动下，矩阵理论形成.有了矩阵重要的工具，线性代数中的线性方程组、线性空间的线性变换等理论得益重新构建.以矩阵代数为核心构建线性代数理论体系，进一步成为环论和代数的具体模型.线性代数理论就是矩阵理论，线性方程组是矩阵，解方程组就是矩阵的初等变换；行列式是矩阵的赋值，是赋值代数的部分；有限线性空间的线性变换表示；线性变换；二次型；欧式空间正交变换等均可以用特定的矩阵表示，从而线性代数问题均化为矩阵代数问题.我们传统的线性代数教材就是沿用这一体系发展形成的.

(ii)几何观点.生活中有一个词：变化.从数学的角度看到这个词首先想到的是几何.例如拿着一块橡皮泥把它拉长，如果用数学的语言来表达那就是映射.变化的特例是变换，数学表述就是自身的映射.一般的变换是一个复杂的过程，例如大气运动等.如何用简单的变换来逼近复杂的变化，这是科学研究的基本方法之一.对于变换而言简单的就是线性变换了.谈及线性变换，首先得给它们构建一个承载体，那就是向量空间，这是一个带有二元运算的代数系统，讲授的线性代数可以将它看成一维、二维和三维几何空间推广到复数集上的 维向量空间，当然欧式空间和酉空间都是这空间上考虑了度量而已.有了 维向量空间和基于它上的线性变换，线性代数理论体系的大幕就可以开启了.矩阵是线性变换的表示形式，线性方程组的求解问题是向量空间一组向量的线性相关性问题，矩阵的特征向量是在向量空间中寻求在特定线性变换下保持稳定方向的向量组而已.在这样的几何观点下，行列式就不是显得特别重要了，仅仅是一种辅助工具而已.这里可以参考两本书，一本是哈尔莫斯(P. Halmos)1942 年出版的著作《有限维向量空间》[23]，另一本是谢尔登.阿克斯勒(Sheldon Axler)著的《线性代数应该这样学》[22]，该书林开亮教授在《数学文化》杂志上给了特别推荐[24].

(iii)公理化观点.在工科的线性代数教材中，为了讲清楚一般线性方程组解的结构，都会在前期内容中用一节的篇幅讲授向量空间，同时给出基，维数以及坐标的概念，大家注意的是这里的 维向量空间是现实三维空间的推广，是定义在实数域上，没有引入抽象的空间，一些学时多点的工科教材在后面给出一个抽象空间的介绍.实际上20 世纪30 年代，在库默、哈密尔顿和诺特的工作下，首先构建数域 (进一步推广到一般域或体)上的向量空间， 在此基础上定义线性变换以及线性变换的矩阵表示，将线性代数公理化，形成了一个完整的理论体系.在这个理论体系中，数域上一个非空集合由加群和数乘运算以及八条公理决定的抽象的线性空间定义就非常重要了，在这样抽象空间上构建的线性代数体系即为公理化体系.这种从具体概念抽象出来的公理化方法，对数学专业学生掌握线性代数的理论体系是非常有用的.

4 牢固树立线性代数的几何观

通过第二部分分析，我们认为对于地方工科院校线性代数的教学，为了给学生有一个良好的几何直观，牢固树立线性代数的几何观是非常重要的.笛卡尔坐标系的建立，在一定程度上说，代数与几何得到统一和协调.

(i)几何观下教材处理.现在正式出版的地方工科院校线性代数教材基于几何观编写的不多，除非在学时能保证的学校采用线性代数与空间解析几何合编的教材.这样就需要老师在传授线性代数时正确处理好现有的教材.

① 行列式处理.在几何观点下行列式就没那么重要了，可以作为线性代数理论独立存在，但是在现有的环境下行列式不讲似乎改革步伐大了一些，作为基础课不太可取，但是可以淡化它，毕竟大学一年级学生刚上学这门课的第一章就抛出行列式和行列式的定义，被打得晕头转向，严重影响学习线性代数的兴趣.近来看到了改革成果，例如另一版的同济大学编线性代数教材将行列式就放在第二章来讲[10].

② 强化线性变换在线性代数的核心作用.很多人学完了线性代数后掌握了一堆的概念和名词，不知道知识体系的关联和主次.不可否认在线性代数中矩阵很重要，从代数的角度它是核心的，但是从几何的角度它是变换的附属物.在我们树立了变换的核心地位之后，向量空间的引入和介绍就越早越好.在处理教材时建议按照以下的顺序.

平面与空间 ⟹n维向量空间与欧式(或向量)空间(Ⅰ) ⟹ 线性变换与保距变换 ⟹ 矩阵 ⟹n维向量空间与欧式(或向量)空间(Ⅱ)(向量的线性相关性、正交、向量空间的基于坐标等) ⟹ 线性方程组 ⟹ 行列式 ⟹ 线性变换的特征值与特征向量 ⟹ 二次型当然，每个老师可以按照原来的教材讲授，只不过心中要有几何的这条线.

(ii)几何观下教学分析.几何观下线性代数教学目的就是希望通过直观的图形，图像来理解抽象的线性代数理论.实际上线性代数理论处处都有几何背景.

① 如果用低于三维的现实空间为几何模型的话，三维以下的线性代数就是空间解析几何的简化版，求解线性方程组就是求空间平面或平面直线的交点(线)，线性变换就是空间矢量的变换，特别的是坐标轴的旋转等正交变换.

② 当向量空间的维数超过3维后，可以用三维来类比，也即有超平面，超级旋转等，学生是可以理解和接受的.

③ 矩阵是代数的，但是它是线性变换的表现形式.矩阵相加是两个位置平行的变换的叠加，两个矩阵相乘是先后两个变换合成的表现矩阵，例如：将一个向量旋转逆时针45度是一个变换，它对应的旋转矩阵 ；接着对它再旋转30度，它对用旋转矩阵 .结果向量被旋转了75度，这一变换就是前面两个变换的合成，这个合成的变换表现矩阵称为与乘积.这样解释矩阵乘法能很好解释学生对矩阵乘法定义的疑惑.

④ 求解线性方程组就是讨论一组超平面的位置关系.

⑤ 矩阵的特征向量就是在给定的坐标系下(固定基)这个矩阵对应的线性变换作用在它上面使得它的像就是它本身放大或缩小倍的向量.

⑥ 向量组的柯西-施密特正交化实际上由通过待定系数确定一个和它俩在一个“平面”上和垂直的向量，再通过找一个向量使得它同时垂直于，重复这个过程，这样学生是容易理解，不会死记硬背.

⑦ 二次型化简就类似于二次曲线和二次曲面的通过坐标轴变换化为标准形式.

总之，一切皆是几何.本部分最后需要说明的是行列式不论从历史发展的轨迹和实际计算都看不到几何的痕迹，当然如果说空间三个向量的混合积的值恰好是一个三阶行列式的值，这不是行列式的几何意义，而是几何“撞见”了它.

5 强化线性代数的实用性

当前全国地方高校都在大力推进基于OBE理念下的工程认证工作，OBE理念的核心就一句话：以学生为中心，以产出为导向，持续改进.作为地方高校，特别是教育部应用型本科转型试点的高校，工科基础课的线性代数应该是工程认证十二条的第一条工程知识的基础，它明确表示工科学生学习数学的目的就是能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题.这给教师提出了行动标准：地方应用型本科高校工科学生不是为了学数学而学线性代数的，学线性代数是为了工程实践服务，我们的教学要和工程应用密切结合起来，强化线性代数的实用性，适当淡化理论体系的完整性，充分利用现代计算机技术和计算机的普及，将计算的事尽量交给计算机去做，把课堂上教授各类计算技巧的时间省下来.现今很多高校在线性代数教学中用MATLAB安排了课内实验课，同时和数学建模活动紧密联系起来，如同陈怀琛教授在《实用大众线性代数》[25]前言中所说：让线性代数“实用化”、“现代化”和“大众化”.“实用化”指为工科的后续课程及未来工程的需求为标准安排内容，“现代化”指的是用MATLAB来解决问题，不依靠笔算，“大众化”指采用了最少、最浅而又足够的理论，使推理能力不太强的学生和有实践经验但多年不接触数学的工程师都能接受，便于向大众普及.

6 它山之石

地方应用型本科高校基础课教学除了学生掌握必要的基础理论，核心的问题还是在于教会学生如何在工程实践中去使用，对此这些年很多高校都在积极的开展讨论，笔者所在的学校也不例外.2013年作者带队去丹麦奥尔堡大学学习考察他们的PBL(Problem Based Learning)教学法[25]，该教学法就是围绕工程中的实际问题，学生在指导老师的帮助下，通过采用小组讨论的形式，收集资料，解决问题，以期望培养学生自主学习能力和创新能力.这种教学思想和基于OBE理念的工程认证实践非常吻合.奥尔堡大学位于丹麦第三大城市奥尔堡，是丹麦第四大拥有博士授予权的高校，是PBL教学法在全校实践，普及最完全的高校，也是PBL理论研究的领头高校，他们培养人才的定位是现场工程师.例如海洋勘探相关专业入学开始就告诉学生你们将来毕业后需要做什么，会设计出一系列问题，假若有一个问题是海里输油管道的铺设以及管道漏油检测问题，学生会分成几个小组针对这个问题在老师的指导下开展学习、讨论，当然现场是有地下油管的实物或模型.在学习中需要到什么知识就学习和补充什么知识.他们数学课程的教学启迪着我们：对非数学专业的学生来说解决学生所学专业复杂工程中需要什么数学就教他们什么数学，不去过分强调知识体系的完整性，更不会出现老师不了解专业的需求自说自画，一股脑抛给学生.

7 结 论

数学是人类表达现实的超现实语言，大量的数学知识现在还没有办法在现实中找到它的直接应用，线性代数这样“简单的数学”可以说是当今用得最好的数学之一.每个数学教育工作者均受过系统的数学训练，在具体的教学实践中强调知识体系的完整性已经渗透到我们教学“不由自主”的行动中，怕学生没有学完整会影响后继课程学习以及研究生入学考试.但往往或略了具体教学对象，这个对象未来的目标地位是什么.笔者认为，在本文中就地方院校特别是应用型转型实践的地方高校，在具体的线性代数教学中，不应该过多关注线性代数知识的系统性和完整性，应更多关注学生所学专业在工程中的应用；不过分强调理论推导过程和各类运算技巧，将计算的交给计算机完成；针对地方高校学生数学抽象思维能力相对偏弱，强调在几何背景下组织线性代数教学.

致谢感谢审稿人对本文提出的很好的修改意见.