吕 康，黄振友

(南京理工大学 理学院，南京 210094)

0 引 言

考虑

Δu+λu=0

(1)

u=0,∀x∈∂Ω

(2)

其中,Ω为三维欧氏空间单位球上的球带，Ω={x:ξ≤φ≤η,0≤θ≤2π}。上述问题有可数个单调递增的特征值满足:

0<λ1<λ2≤…≤λn≤…

且λn→∞(n→∞)(称λ1为第一特征值或最小特征值)。由最大-最小原理，对于比较靠前的特征值相对来说更容易处理。尤其是λ1,λ2，它们与粒子在某一场中运动所具有的能级有关[1]。SHEN和SHIEH[2]得到当Ω的面积不变，ξ逐渐增加时式(1)(2)的最小特征值严格增加的结果，且当Ω关于赤道平面对称时达到最大；SHIEH[3]得到当Ω面积在小于等于2π时，第二特征值也在它关于赤道平面对称的时候最大(但是这里并没有得到单调性)；RAMM和SHIVAKUMAR[4]考虑Ω=D1(0)Dr(h),其中 0

考虑

(3)

1 主要结果和证明

假设Ω的面积为S=2πA,考虑当A固定，随着ξ的增加,式(3)的第一特征值λ1的变化趋势是怎样的。对于式(3)中的Robin型边条件，不难得到它实际上等价于

(4)

用分离变量法，令u=f(φ)g(θ),由式(3)及(4)得

g″(θ)+c2g(θ)=0

g(j)(0)=g(j)(2π),j=0,1

(5)

(6)

f′(ξ)-σf(ξ)=f′(η)+σf(η)=0

(7)

式(5)的解显然是清楚的，考虑式(6)(7)。对于经典的Sturm-Liouville方程，特征值可以用Rayleigh商表达出来，因此需要将式(6)作变换，使它呈经典的Sturm-Liouville方程形式。

引理1 对于形如

y″+py′+qy+λy=0,y(0)=y(1)

的方程,若p∈L[0,1],则可以通过适当变换将其变换为经典的Sturm-Liouville方程的形式，即形如DpDy+qy+λy=0,y(0)=y(l)的方程。

证明作变换:

f(0)=f(l)=0

可得证。

根据引理1，可以将式(6)变为想要的形式。作变换：

h(x)=f(φ)

则有

(8)

sinξh′(0)-σh(0)=sinηh′(A)+σh(A)=0

(9)

由Courant节点域定理不难得到当c2=0时，对应的式(6)(7)的最小特征值是式(3)的第一特征值，即

σsinξh2(0)+σsinηh2(A)}

H(ξ)=

因此有λ1≤H(ξ),H(a)=λ1(a)。猜想当Ω关于赤道对称的时候,λ1达到最大值。为了得到这个结果,比较直观的想法是比较H(ξ)和H(a)的关系。于是便有下述定理：

定理1 式(3)中，若Ω面积固定为2πA不变，当Ω关于赤道对称时，λ1最大。

证明只需证明H′(ξ)>0,∀ξ∈(0,a)即可。这……