浙江省宁波效实中学 (315012) 鲁 勤 童益民

用基本不等式求最值是高中数学教学和高考中常见的一种常见的方法，如2011年浙江高考理科第16题：设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是.变形后用基本不等式求解该题，最后只要验证等号成立的条件.但如果用基本不等式求该题x,y为正数时的取值范围，是否可行，还要附加什么条件？值得研究，请看下面的解析.

题1已知正数x,y满足x2+4xy+y2=1，求x+y的取值范围.

根据该定理，可用基本不等式解决二次方程有两个正根的取值范围的问题，来看解法2.

解法3：令x+y=t>0，因为y=t-x>0，所以0

题2已知正数x,y满足4x2+xy+y2=1，求2x+y的取值范围.

题3已知正数x,y满足x2+2xy+4y2=1，求x+y的取值范围.

分析：根据已知条件x2+2xy+4y2=1，不能得到x+y与xy的关系，所以就不能用基本不等式来解该题了，也就是题1的解法1与解法2的方法不能用了，只能用题1的解法3的方法了.

解法1：令x+y=t>0，所以y=t-x>0，所以0

分析：令x+y=t，设方程3x2-6tx+4t2-1=0的两根为x1,x2，则x1+x2=2t，如果令x1=x∈(0,t)，那么x2=2t-x1=2t-x≠y了.所以方程3x2-6tx+4t2-1=0的根x1,x2与x,y不对应，从而也说明不能用基本不等式来解该题了.该题也要避免方程3x2-6tx+4t2-1=0在x>0上有解，忽略了隐含条件y=t-x>0，即x