张四保，姜莲霞

(喀什大学 数学与统计学院， 新疆 喀什 844008)

0 引言

Euler函数φ(m)是数论中的一个极为重要的函数，对于Euler函数φ(m)的性质以及包含Euler函数φ(m)的方程是内容极为丰富的研究课题，其有着大量的研究成果。文献[1]讨论了方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)5ω(n)的可解性，给出了其正整数解的情况；文献[2]讨论了方程φ[φ(x)]=2t的可解性；文献[3]讨论了方程φ(m)=2Ω(m)+ω(m)3Ω(m)+ω(m)与φ(m)=2Ω(m)-ω(m)3Ω(m)-ω(m)的可解性，给出这两个方程的正整数解的情况；文献[4]利用初等方法给出方程φ[φ(n)]=2Ω(n)的所有正整数解；文献[5]基于整数的分解给出了方程φ(n)=2Ω(n)3Ω(n)的正整数解；文献[6]给出了方程φ{φ[φ(n)]}=2ω(n)的所有正整数解。

为将Lehmer同余式的模从素数的平方推广到任意正整数的平方，CAI等[7]引入了广义Euler函数φe(n)，其中e为正整数。对于包含广义Euler函数φe(n)的方程的可解性问题也有着丰富的研究内容。文献[8]讨论了方程φe(n)=2tω(n)的可解性，给出了其部分正整数解，其中e=2,3,4,6；文献[9]讨论了方程φ2(n)=2ω(n)与方程φ2[φ2(n)]=2ω(n)的可解性，获得了这2个方程的所有正整数解；文献[10]利用初等方法及广义Euler函数φ2(m)的性质给出了方程φ2(m)=2ω(m)3ω(m)的一切正整数解。笔者将利用函数φ2(m)的性质以及分类分段的讨论方式来讨论方程式(1)的可解性问题，给出该方程的正整数解的情况。

φ2(m)=2ω(m)3Ω(m)，

(1)

式中函数Ω(m)均为正整数m的质因子个数函数，函数ω(m)均为正整数m的互异质因子个数函数。

1 主要结论及其证明

定理1方程式(1)有正整数解m=13, 91, 95, 111, 146, 436, 665, 741, 777, 962, 1 022, 1 090, 1 304, 2 812, 3 052, 3 260, 5 187, 6 734, 7 030, 7 630, 8 322, 8 502, 9 128, 11 688, 19 684, 22 820, 24 852,25 428,29 220, 49 210, 62 130, 63 570, 74 328, 81 816, 177 996, 185 820, 204 540, 520 296, 434 910, 1 300 740, 3α×37, 3α×247, 3α×259, 3α×1 729, 3α×2 834, 3α×3 896, 3α×8 284, 3α×8 476, 3α×9 740, 3α×19 418, 3α×19 838, 3α×20 710, 3α×21 190, 3α×24 776, 3α×27 272, 3α×59 332, 3α×61 940, 3α×68 180, 3α×144 970, 3α×173 432, 3α×433 580,其中α≥2,为整数。证明显然m=1,2不是方程式(1)的正整数解，则m≥3，可分m为单数与m为双数的情况进行讨论。

情况1当m为单数，此时设m=q1α1q2a2…qtαt≥3是m的标准分解式，其中q1

(2)

即有

q1α1-1(q1-1)q2α2-1(q2-1)…qtαt-1(qt-1)=2t+1×3α1+α2+…+αt。

(3)

在式(3)的右端只有唯一的单因数3，则指数α1,α2,…,αt中只能有1个可以满足αi≥2，1≤i≤t。……