南 宁，金明慧，惠小静

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

以王国俊教授为首的学者提出了计量逻辑学[1-4]，在多值命题逻辑系统中提出了公式的真度概念，以此为基础大量学者针对不同的逻辑系统对真度展开了相关研究[1-15]。

文献[12]与文献[13]在n值乘积系统的基础上引入了对合否定～和连接词△两类算子，△算子具有去模糊化的特性。这样基本逻辑系统BL在增加了△算子后被扩张为BL△逻辑系统，同时与对合否定连接词结合形成SBL～系统，在该系统中△演绎定理和强完备性定理都是成立的，因此弥补了Gödel和Goguen系统中的不足，使得相关研究得以顺利展开。本文对n值Goguen命题逻辑系统进行公理化扩张记为Goguen～，△。在该系统中添加了新的连接词～，△，给出了Goguenn值命题逻辑系统中命题公式的真度、相似度和伪距离的定义，证明了该真度的MP规则、HS规则及相关性质。

1 预备知识

定义1.1[15]BL△的公理系统如下：

(BL)BL的公理系统；

(A△1)△A∨△A；

(A△2)△(A∨B)→(△A∨△B)；

(A△3)△A→A；

(A△4)△A→△△A；

(A△5)△(A→B)→(△A→△B)。

BL△中的推理规则是MP规则与△规则，其中MP规则是从A，A→B推得B。△规则为A→△A。

定理1.1(演绎定理)[15]令是BL△的公理化扩张，那么对任意理论Γ，公式A和B，有Γ，A├B当且仅当Γ├△A→B。

定理1.2(强完备性定理)[13]设为SLB～系统的公理化扩张，那么理论Γ与公式A，如下条件等价：

(i)Γ├A；

(ii)对每个代数与理论Γ的每个模型e，均有

e(A)=1。

2 命题公式的真度定义及等价形式

定义2.1 设S={p1,p2,…}是可数集，～，△分别是S上的一元运算，∧，∨→分别是S上的二元运算，F(S)是由S生成的(1,1,2,2,2)型自由代数，则称F(S)中的元为命题公式或公式，称S中的元为原子公式。

定义2.3 Goguen命题逻辑系统也叫乘积系统，记。

x∨y=max{x,y},x∧y=min{x,y},

称Goguen～，△是n值乘积命题逻辑系统的扩张，简记为～，△。……