东旭华，郭金运，孔巧丽，金 鑫，赵春梅

(1. 山东科技大学 测绘与空间信息学院，山东 青岛 266590;2. 北京房山人卫激光国家野外科学观测研究站，北京 100830)

随着测绘技术的发展，人们对全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS)定位的精度和效率有了新的要求，高精度实时定位领域受到人们的关注[1-2]。微型GNSS阵列因其天线之间的边长已知的空间特征在高精度实时定位领域受到人们的关注[3]。微型GNSS阵列是由长度极短的超短基线构成的GNSS基线网。微型GNSS阵列定位中，载波相位的双差观测可以消除接收机钟差、卫星钟钟差，具有空间相关性的电离层误差、对流层误差和卫星星历误差也可忽略不计，定位主要受到多路径效应和测量噪声的影响[4]。因此，通过载波相位双差观测可得到高精度的基线向量。以差分观测后得到的基线向量为观测量，同时以事先通过激光跟踪仪确定微型阵列中天线的边长为约束，进行约束网平差，可以实现微型GNSS阵列快速高精度的定位[5]。需要注意的是，以边长为非线性化约束条件，进行线性化会产生非线性残余项。聂志喜等[6]在GNSS动态相对定位中常附加非线性的基线长约束进行解算。实验表明，超短基线进行解算时，非线性残余项可能对结果产生影响。薛树强[7]在研究非线性问题时，指出非线性参数平差模型在进行线性化时，线性误差残余可能会影响参数估计的无偏性和最优性，以及影响单位权方差因子估计的可靠性。以微型GNSS阵列中天线之间的边长为约束所产生的非线性残余项在GNSS三维约束网平差中造成的影响，需要进一步探究。

微型GNSS阵列的定位需要高精度的基线向量，目前，已有多位学者利用载波相位差分对超短基线的定位进行了研究。王世进等[8]对31 m的超短基线进行载波相位差分观测，实验表明，实时动态载波相位差分观测的定位精度可达1 cm左右。杨元喜等[9]对4.2 m的超短基线进行实验，认为载波相位差分动态定位水平分量的精度优于3 mm，高程分量的精度约为5 mm。隋春玲等[10]对12 m的超短基线进行GNSS多系统组合的单历元单频超短基线差分定位，结果表明，在东(E)、北(N)、天(U)三个方向的定位精度分别为7.5、4.5、9.0 mm。上述多位学者通过实验证明，对超短基线进行载波相位差分观测，可以得到高精度的动态基线向量。因此通过对微型GNSS阵列中距离很近的天线进行载波相位双差处理，可以得到高精度的动态基线向量。

微型GNSS阵列通过载波相位双差观测得到高精度的动态基线向量后，与事先测定的微型GNSS阵列中天线之间的边长，共同进行基于边长约束的网平差处理。目前，已有多位学者在约束网平差方面开展研究。王解先等[11]以测距边长为约束对静态基线向量进行了GNSS网平差，实验证明，边长约束网平差可以提高定位精度。汤程禹[12]以边长和角度为约束，对高铁轨检小车上相距约为1 m的三台接收机和高铁周围的基准站进行GNSS网平差，实验证明高精度的边长和角度约束可以提高定位精度。白征东等[5]以边长和姿态为约束，对载体上相距1～2 m的三台接收机和地面上的基准站进行GNSS网平差，得到单历元较为稳定而精确的坐标解算结果。上述多位学者通过实验证明，基于边长约束的GNSS网平差可以提高定位精度。但上述学者的实验仍有不足：①数据事后处理，实时性差；②测站和基准站相距较远，基线的误差相对较大。微型GNSS阵列中天线之间距离极短，以载波相位差分得到的高精度动态基线向量为观测量，以天线之间的边长为约束，进行网平差解算，可实现快速高精度的定位，弥补上述不足。

目前，多位学者在超短基线差分定位和约束网平差方面做了大量研究，然而在基于差分观测得到的动态基线向量进行约束网平差方面研究较少。本研究根据微型GNSS阵列中天线之间边长已知的特点，通过边长约束网平差方法实现微型GNSS阵列的高精度定位。该方法以载波相位差分观测得到的高精度动态基线向量为观测量，以微型GNSS阵列中已知边长为约束，进行网平差，进而确定阵列中天线的坐标。通过实验分析了不同边长约束方案对微型阵列定位精度的影响，验证了微型GNSS阵列可实现实时高精度定位。

1 微型GNSS阵列约束网平差

微型GNSS阵列经过载波相位双差观测后，接收机钟差和卫星钟差得以消除，电离层误差、对流层误差和卫星星历误差可忽略，解算出来的基线精度较高，在此基础上以微型GNSS阵列中天线之间的边长为约束进行网平差可进一步提高定位精度[13-14]。GNSS网三维约束平差是为了获取GNSS网中各点在指定坐标系中的坐标，评定GNSS网的外符合精度而进行的平差改正[13]。采用附有限制条件的间接平差模型，以GNSS基线作为观测量，在约束平差中引入必要的起算数据，使得GNSS网的位置和尺度基准发生变化[15]。微型GNSS阵列如图1所示，测站A、B、C和D呈规则分布，测站之间空间距离可通过激光跟踪仪通过距离测量测定。

图1 微型GNSS阵列观测模型

1.1 微型GNSS阵列误差方程的推导

微型GNSS阵列约束网平差以微型GNSS阵列中精度最高的点为基准点，根据基准点的坐标和基线向量计算其他待定点的近似坐标[16]。本研究以测站A为基准点，根据测站的坐标和基线向量计算测站B、C和D的近似坐标。4个测站，共构成BC、BD、CD、AB、AC、AD6条基线。以基线BC为例介绍，基线BC与基线两端点的数学关系为：

(1)

根据公式(1)得到基线BC的误差方程：

(2)

根据公式(1)和公式(2)，推导出基线BC的误差方程：

(3)

微型GNSS阵列网中6条基线的误差方程为：

(4)

其中：

GNSS网平差中，若基线解算模式为单基线解，无法给出同步观测基线之间的统计相关性[17]。权矩阵为：

(5)

式中：I为三阶单位矩阵，D是由观测基线的方差-协方差矩阵组成的矩阵。

1.2 微型GNSS阵列约束条件方程

GNSS网的三维约束平差可以采用地面已知固定点坐标、固定大地方位角以及固定空间弦长等作为约束条件[18]。微型GNSS阵列各测站之间的距离始终保持不变，采用固定基线边长条件进行三维约束平差。

以微型阵列中基线BC为例，设Sbc为基线BC的边长，平差时作为GNSS网的尺度基准, 则有约束条件：

(6)

对公式(6)进行微分得：

(7)

根据公式(7)得约束方程:

(8)

1.3 微型GNSS阵列法方程的组成和解算

微型阵列GNSS网三维约束平差的实质为附有限制条件的间接平差。由公式(4)和(8)组成法方程：

(9)

式中，NBB=BTPB，V=BTPl，k为联系数。

根据公式(9)得

(10)

2 方法验证与案例分析

2.1 数据准备

为验证高精度基线向量，经过约束网平差解算可进一步提高测站的定位精度，仿真时长为15 min采样频率为1 Hz的基线向量数据。进行仿真时，设置了4个天线构成的微型阵列，相对位置关系如图1所示。图1中微型GNSS阵列在X方向相差2 m，在Y方向相差2 m，Z方向数值相同。基线向量有6条，其中基线AB、AC、BD、CD长度均为2 m，基线BC和AD长度为2.828 4 m。

笔者基于Visual Studio平台通过C++程序向各基线中添加高斯白噪声，高斯白噪声信息如表1所示。

6条基线的高斯白噪声在平均值(MEAN)、最大值(MAX)、最小值(MIN)、标准偏差(STD)和均方根误差(RMS)五个方面数值大致相同。从表1可以看出，所有基线的高斯白噪声的平均值都趋近于零；高斯白噪声最大值约为3.44 cm，最小值约为-3.77 cm；STD(标准偏差)和RMS(均方根误差)在数值上一致，约为1 cm。

表1 高斯白噪声统计

表2 实验设计

2.2 实验设计

基于仿真基线向量，利用微型GNSS阵列中边长已知的特点，以A点为基准点，通过固定基线边长作为约束条件进行三维约束网平差。以不同的约束条件进行网平差实验如表2所示。

2.3 结果分析

2.3.1 无约束网平差精度分析

微型GNSS阵列无约束网平差，是以A点为基准点，以基线AB、AC、AD、BC、BD、CD为观测量，采用间接平差模型进行解算。解算后的结果如图2所示。

从图2可以看出，无约束网平差解算后，微型GNSS阵列中接收机的坐标精度有所提升。B点Y方向的RMS最大，为7.5 mm；B点Z方向的RMS最小，为6.9 mm；其他方向的RMS均在7.1 mm处波动。造成B点的Y方向和Z方向的RMS相差较大的原因为高斯白噪声的随机分布，在进行网平差时，各点的坐标精度会有细微的差别。图3中各方向的差异均在亚毫米级，说明无约束网平差对各点在X、Y、Z三个方向的改正比较均匀。

2.3.2 固定一条基线边长的约束网平差精度分析

固定一条基线边长的约束网平差，是以无约束网平差为基础，分别固定基线AB、AC和AD的边长，采用附有限制条件的间接平差模型进行解算。解算后的结果如图3所示。

图3 固定一条基线边长的约束网平差解算后各点RMS

从图3可以看出，固定一条基线边长的约束网平差解算后，3组实验解算的坐标在X、Y、Z三个方向的RMS大部分集中在7 mm左右。以基线AB的边长为约束的网平差在X方向的精度有所提高，B、C、D三点X方向的RMS分别为0、6.2、6.1 mm。这是因为基线AB为(2,0,0)，因此在以AB的空间弦长为约束的网平差中，X方向改正的权重比较大，尤其是B点X方向。以基线AC的边长为约束的网平差在Y方向的改正较大，B、C、D三点在Y方向的RMS分别为6.4、0、6.3 mm。和以基线AB的边长为约束的网平差的原因类似，基线AC为(0,2,0)，因此在Y方向改正的权重较大。以基线AD为约束的网平差在X和Y方向上的精度均有所提升，B、C和D在X方向的RMS分别为6.6、6.6、5.1 mm，B、C和D在Y方向的RMS分别为6.9、6.6、5.1 mm。具体原因是，约束基线AD为(2,2,0)，网平差时X和Y方向的权重相同，因此计算的X和Y方向的改正大致相同。以基线AD的边长为约束，解算后D点的X和Y方向改正最大。

2.3.3 固定两条基线边长的约束网平差精度分析

固定两条基线边长的约束网平差中，分别以基线AB、AC的边长为约束，以基线AB、AD的边长为约束和以基线AC、AD的边长为约束条件进行网平差。解算结果如图4所示。

图4 固定两条基线边长的约束网平差解算后各点RMS

从图4可以看出，固定两条基线边长为约束网平差解算后，三点在X和Y方向的RMS大部分集中在6.5 mm左右；Z方向变化不大，约为7.0 mm。以基线AB、AC边长为约束网平差解算后，B、C、D在X方向的RMS分别为0、6.2、6.1 mm；B、C、D在Y方向的RMS为6.4、0、6.3 mm。以基线AB、AD边长为约束网平差解算后，B、C、D在X方向的RMS为0、6.1、4.7 mm；B、C、D在Y方向的RMS为6.8、6.5、4.7 mm。以基线AC、AD边长为约束网平差解算后，B、C、D在X方向的RMS为6.5、6.6、4.7 mm；B、C、D在Y方向的RMS为6.2、0、4.7 mm。上述三种约束方案在X和Y方向均有所改正，原因是基线AB为(2,0,0)，X方向权重大，因此在X方向改正最大，尤其是B点X方向；基线AC为(0,2,0)对Y方向改正最大，尤其是C点Y方向；基线AD为(2,2,0)在X和Y方向的权重相同、改正量大致相同，其中D点X和Y方向的改正量最大。

2.3.4 固定三条基线边长的约束网平差精度分析

固定三条基线边长的约束网平差，是在无约束网平差的基础上，以基线AB、AC、AD的边长为约束进行网平差。解算后结果如图5所示。

从图5可以看出，固定基线AB、AC、AD边长的约束网平差解算后，三点X和Y方向的RMS均小于6.5 mm；Z方向变化不大，约为7.0 mm。解算后，B、C、D在X方向的RMS为0、6.1、4.5 mm，在Y方向的RMS为6.2、0、4.5 mm。以基线AB、AC、AD的边长为约束进行网平差解算，在X和Y方向的精度均有较大提升。具体原因是，基线AB对所有点在X方向的改正均较大，尤以B点X方向最大；基线AC对所有点Y方向的改正较大，其中在C点的Y方向最大；基线AD对所有点X和Y方向均有改正，D点在X和Y方向相比于其他点改正最大。这三条约束基线共同作用，造成网平差后各点的坐标精度均有所提升。

图5 固定基线AB、AC、AD边长的约束网平差解算后各点RMS

2.3.5 不同约束方案的精度比较

为了确定精度最高的以边长为约束的网平差，选择4个实验中精度最高的网平差进行比较：无约束网平差，以基线AB的边长为约束的网平差，以基线AB、AC的边长为约束的网平差，以基线AB、AC、AD的边长为约束的网平差，结果如图6和表3所示。

图6 不同约束网平差的RMS

从图6可以看出，不同约束方案的网平差解算后的坐标与原始坐标对比分析后，RMS的量级均在毫米级。以基线AB、AC和AD的边长为约束的网平差解算后精度最高，X和Y方向的RMS低于其他网平差，Z方向的RMS相比于其他网平差无明显变化。由表3显示，以AB、AC和AD的边长为约束的网平差定位精度明显优于其他方案，B、C、D三点的点位误差(3D)分别为9.2、9.4和9.4 mm。因此，在由4个天线组成的微型阵列中，以AB、AC、AD三条基线的边长为约束的网平差的定位精度优于其他约束方案。

表3 不同约束网平差的RMS统计

3 结语

本研究以微型GNSS阵列中高精度的动态基线向量为观测量，根据微型GNSS阵列中天线边长已知的特点，对微型GNSS阵列进行基于边长约束的网平差，实现了微型GNSS阵列快速高精度定位。并分析了不同的边长约束方案对GNSS定位精度的影响，得到以下结论：

1) 微型GNSS阵列采用GNSS三维约束网平差可以实现高精度定位；

2) 基于微型GNSS阵列中接受机之间的距离可以通过激光跟踪仪测定的空间特点，提出以边长为约束的GNSS三维约束网平差，并通过案例进行验证。