李开勇, 赵 波, 王翼鹏, 王梓羽

(四川大学机械工程学院 教育部空天动力燃烧与冷却工程研究中心， 成都 610065)

1 引 言

航空航天等技术的迅猛发展对飞行器表面和发动机壁面的高效热防护性能提出更苛刻的要求，例如火箭发动机壁面和高速飞行器表面的发散冷却和航空发动机涡轮叶片的气膜冷却技术一直受到广泛关注[1-5]. 此外，质子交换膜燃料电池在燃料输运过程中需经过具有多孔壁面的双极板通道并经扩散层到达膜电极处进行化学反应发电. 上述应用均可归结为壁面具有吹吸速度的外掠平板边界层流动问题[6]. 本文主要限于多孔壁面的湍流速度边界层理论研究. 目前，外掠多孔平板层流边界层的理论研究相对较多，且多采用积分法或通过相似变换对动量和能量微分方程进行求解：Thomas等[7-8]采用多项式描述速度和温度分布，利用积分法获得了多孔壁面层流边界层的速度和温度场；Afzal[9]利用幂函数代表速度并通过积分法和变量替换，将Falkner-Skan控制方程转换成常微分方程以得到速度场分布；Watanabe等[10]通过引入新变量，将控制方程简化为耦合非线性微分方程求得具有渗透表面圆盘的速度和温度场. 由于湍流机理的复杂性[11-15]，湍流边界层动量和热量传递的试验研究常常先行于理论[16-19]，此外还采用数值仿真的方法[20-22]，目前验证湍流理论模型的基准试验数据多来自Kays院士及其合作者[23].

当前，外掠平板湍流边界层的理论研究多采用量纲分析的比拟法、渐近分析方法和积分方法建立雷诺时均动量方程(RANS)和能量方程[24-28]，其中湍流运动粘度和湍流热扩散率的确定主要遵循普朗特混合长度理论. Vigdorovich[25-26]针对外掠可渗透壁面湍流速度边界层问题，采用渐近分析和无量纲比拟的方法建立了雷诺时均N-S方程，但需以相同条件下的非渗壁面速度分布作为已知条件. Khademi等[27-28]将湍流速度和温度边界层划分为层流底层和湍流核心区，两个区域均采用多项式代表速度或温度分布，最后采用积分方法获得湍流边界层的速度和温度场分布，但他们的研究只限于非渗透壁面情况. 本文将在课题组前期非渗透壁面研究基础上[29]，集中讨论具有吹吸速度的可渗透表面湍流速度边界层的分布，拟分别采用三次多项式和1/5次幂函数代表层流底层和湍流核心区的速度分布，利用积分方法建立湍流边界层动量方程，最终获得速度场的解析解. 该方法与现有试验结果及经验公式符合得较好，而且具有形式简洁和求解时收敛迅速等优点.

2 理论模型

2.1 利用积分方法建立动量方程

如图1，将外掠多孔平板湍流速度边界层划分为层流底层和湍流核心区[27-28]，u∞为主流区恒定流速，υs为垂直渗透壁面、均匀分布且不变的吹入或吸出速度，δ1和δ分别为湍流速度边界层的层流底层厚度和总厚度(即层流底层加湍流核心区的厚度). 假设：流体不可压缩且物性参数均为常数；湍流流动是定常的，即流场各位置的时均速度不随时间变化；主流区速度和壁温为常数；不考虑转捩区，认为湍流从层流末端开始，该临界位置(x=0)处湍流速度边界层总厚度δ等于该位置层流速度边界层的厚度δ*，而层流底层厚度δ0极薄，参考Khademi[27-28]假设，这里视δ0为一个无限接近零的正数，文献[29]中对非渗透表面的研究中已表明这种处理能够保证理论模型的预测精度，取临界雷诺数Re=5×105[27-28]，如图1.

湍流边界层的雷诺时均动量方程为[23]

(1)

图1 外掠可渗透平板湍流速度边界层示意图

图2给出湍流流动控制体积示意，区域1-2-3-4为层流底层，3-4-5-6为湍流核心区，l为流体厚度，dx为x向微元. 因dx极小，认为湍流边界层的层流底层厚度δ1在dx内沿x向不变. 根据动量守恒定理，采用与层流边界层类似的积分方法[23]，最后获得多孔平板的湍流动量积分方程为

(2)

式中μ为流体的动力粘度，u1和u2分别为层流底层和湍流核心区的速度，uL为层流底层外缘处速度. 此外，相应边界条件为：

u1|y=0=0,u1|y=δ1=u2|y=δ1,

图2 外掠可渗透平板湍流控制体积示意图

2.2 速度分布函数

认为外掠多孔壁面湍流边界层的速度具有相似的速度分布，在非渗透壁面的研究基础上，采用三次多项式和1/5次幂函数分别代表层流底层和湍流核心区的速度分布[29]，即

(3)

由上述边界条件确定式(3)的待定系数为

a1=0，

a5=u∞δ-1/5.

这里，定义壁面吹吸雷诺数Res=υsδ1/v=Fu∞δ1/ν，F为吹风比. 代回速度分布函数式(3)，则可渗透表面平板湍流边界层的速度表达式如下

(4)

2.3 积分方程组求解

3 结果讨论

3.1 湍流速度场的理论分布

图3和图4分别给出具有喷注(吹入)和吸出速度的外掠平板湍流边界层速度分布情况，图中 “IDENT”指1968年斯坦福大学 AFOSR 大会所采用的那套实验数据，本文解析解分别与Whiten试验和Blackwell的试验结果[23]进行了对比，其中吹风比F=υs/u∞，F>0代表喷注，F<0为吸出. 由图可见，在层流底层理论解与试验值符合得较好，而在湍流核心区虽存在一定偏差，但大体趋势是符合的，最大相对误差6%. 理论和试验结果存在一定偏差的主要原因是：就作者所知，以往外掠多孔壁面湍流试验中，与本文常自由速度和常壁温条件完全相同的试验尚未发现，在文献[23]收集的试验数据中，Whiten的试验条件(IDENT 62067)是零压力梯度加变化的壁温，即混合边界条件，这与本文前面的常自由速度和常壁温假设不完全一致；而Blackwell的试验条件(IDENT 122371)是常壁温和逆压力梯度(即u∞随x是减小的)，也与本文理论模型的假设有所差别. 求解理论模型时由于可渗透壁面湍流模型的复杂性，需用数值方法联立求解动量和能量积分方程组，求解结果与常壁温条件相关. 关于外掠多孔平板湍流温度边界层和三维热对流密度函数的理论模型，将另文报道.

图3 本文速度解析解与Whitten试验结果比较

图4 本文速度解析解与Blackwell试验结果比较

图5给出吹风比F变化时主流方向速度u的分布规律. 注意到在流体厚度y保持不变时，随着吹风比F的增加，x方向的流体速度随之增大. 由图可见，与没有壁面吹吸速度(F=0)时相比，当通过壁面吸出流体(F<0)时，速度边界层δ会变薄，而流体吹入(F>0)时δ相应变厚，吹入速度υs增大到一定数值会最终导致边界层分离，这些与Schlichting等人[12]以及Kays等人[23]试验结论一致.

3.2 摩擦系数的理论预测

图5 吹风比F变化时速度场的理论分布

图6 理论解确定的摩擦系数与Kays经验公式对比

4 结 论

本文主要研究具有吹吸速度壁面外掠平板湍流边界层速度场问题，利用积分方法建立了湍流动量方程，并获得湍流速度场和壁面摩擦系数的理论分布. 首先将湍流边界层划分为层流底层和湍流核心区两部分，然后分别采用三次多项式和1/5次幂函数对速度分布进行描述，随后用积分法建立了动量积分方程，最后用四阶龙格-库塔算法求解得到湍流速度场的解析解，同时获得壁面处的摩擦系数. 边界层速度理论解分别与Whitten和Blackwell的试验结果以及Kays的多孔壁面湍流经验公式对比表明，最大相对误差为6%，摩擦系数与Kays经验公式的最大相对误差为4.9%. 这些工作为后续发散冷却壁面条件下湍流温度场和对流传热特性的理论研究奠定了较好基础.