张 洁

(云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500)

1935年，Landau等[1]首提描述连续统铁磁体自旋磁场演化的Landau-Lifshitz方程(简称LL方程)：

其中 ，λ1，λ2(>0)是常数.多年以来，既具有外加磁场又具有各向异性场的多维LL方程整体光滑解的存在性仍是重大的公开性问题.当外加磁场和各向异性场情形同时出现时，LL方程求解会面临一定的困难，许多研究者仅对外加磁场或各向异性场缺一情形进行研究.2000 — 2001年，Guo等[2-3]构造了n≥2维LL方程的一些显示柱对称解.2001年，Guo等针对2维柱对称情形构造了不存在外加磁场和各向异性场的LL方程的一族精确整体光滑圆盘解[4].2003年，Yang等[5]获得了存在和不存在外加磁场之间的一个精确显示解变换，利用此变换，可以构造出具有外加磁场的精确光滑柱对称解，类似地，此变换也适用于仅具有各向异性场的情形.然而直到2009年，Yang[6]才考虑了存在脉冲型外加磁场和各向异性场的多维LL方程，并给出了2维情形的显示柱对称解.Mu等[7]研究了在保持与文献[4]相同解的情形下如何反求出外加磁场和各向异性场问题.2011年，杨干山等[8]给出了一种求解存在外磁场和各向异性场的LL方程的新方法，并构造了LL方程的一族球面锥对称解.本文主要研究的方程GLL是LL方程的一种典型形式.

1 具有多向效应场的二维柱对称Landau-Lifshitz方程

首先，引入含Gilbert项的具有多向效应场的Landau-Lifshitz方程

其中各向异性场H(u)=(2αu1,2αu2,2βu3)；外磁场H=(h1,h2,h3)；γ是非负参数；λ是正参数；边界条件g=(g1,g2,g3)∈C2,α(∂Ω;R3)∩(∂Ω;S2)；Ω⊂R2和常数α∈(0,1).

其次，将方程GLL整理化简，可得

(1.1)

(1.2)

利用链式法则，柱坐标形……