刘 植, 刘艳玲, 陈晓彦

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

在函数逼近理论中,基于非负线性正算子方法构造逼近函数一直是该领域研究的重要课题之一。自1912年Bernstein提出Bernstein算子,学者们对其进行了各种推广,从而衍生出Bernstein-Durrmeyer算子、Bernstein-Stancu算子、Bernstein-Bézier算子、Bernstein-Kantorovich算子等。为了进一步优化算子的各种性能,人们对以上算子又进行了大量的研究,如对于Bernstein-Stancu算子,文献[1]研究了基于Bernstein基函数的Stancu型算子序列,得到该算子的Korovkin 型收敛定理、收敛速度的估计以及逼近性质;文献[2]研究了一类修正的Stancu型q-Baskakov-Shurder-Szász 算子,给出了加权空间下该算子的误差估计,并利用K-泛函和光滑模研究了该算子的逼近性质;文献[3]研究了Kantorovich型Bernstein-Stancu算子的Voronovskaja型渐近估计;文献[4]构造了一类修正的Stancu型q-Bernstein-Shurder-Kantorovich算子,通过光滑模和Lipschitz型极大函数估计其收敛速度,并研究了该算子的其他逼近性质。

文献[5]通过在经典Bernstein算子中引入非负实参数α的方法，构造了一类新的广义Bernstein型算子,即α-Bernstein算子。该算子具有逼近论中需要的很多优良性质,其表达式为:

(1)

(1) 当n=1时,有

(2)n≥2时,有

特别地,当α=1时,(1)式表示的α-Bernstein算子即为经典的Bernstein算子。

近3年来,围绕α-Bernstein算子的理论研究产生了一些新的成果。文献[6]将α-Bernstein算子推广到无穷集上,得到α-Bernstein-Chlodovsky算子,并研究了其Voronovskaja型渐近估计公式等若干逼近性质。为了逼近Lebesgue可积函数,文献[7]在α-Bernstein算子基础上做了积分修正,构造了新的Bernstein-Kantorovich算子序列,称之为α-Bernstein-Kantorovich算子。利用一阶、二阶连续模研究了算子的一致收敛性以及整体、局部收敛速度,并将结果推广到二元情形。文献[8]基于Mohiuddine等的研究继续讨论了一些绝对连续函数(即导数为有界变差函数)的α-Bernstein-Kantorovich算子逼近的收敛速度问题。……