王 普 姜珊珊 肖 聪

(北京化工大学 数理学院，北京 100029)

引 言

非线性Schrödinger方程最开始用于非均匀介质波的研究，后广泛用于非线性光学、等离子物理等领域[1-4]。对于带五次项的此类方程的显示解以及解的性质已有学者进行了深入的研究[5-7]。基于此，本文考虑如下的Schrödinger方程

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u，

(x,t)∈(a,b)×(0,1)

(1)

其初边值为

u(x,0)=u0(x),x∈[a,b]

(2)

u(0,t)=u(1,t)=1,t∈[0,T]

(3)

式中u为未知函数，f(x,t)为给定的实函数，u0(x)为给定的复函数。容易证明此方程满足电荷守恒，即满足

(4)

对于此方程Zhang等[8]构造了一个差分格式，收敛阶为O(τ2+h2)，初日辉[9]将之改进为紧致格式，收敛阶为O(τ2+h4)，魏新新[10]在保持精度不变的前提下引进分裂方法，将原方程分裂为线性子方程和非线性子方程。本文在此基础上进一步改进分裂算法，使其中一个子方程有解析解，以进一步简化计算。

1 数值算法

1.1 符号

1.2 Strang-type分裂

使用时间分裂算法将方程(1)分为两个子方程，使其中一个方程具有解析解，然后对另一个方程进行差分求解，最后将两个子方程结合进行数值求解。

对方程(1)，将其表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

式中u*(x,t+τ)、u**(x,t+τ)为中间值，该分裂格式误差为O(τ2)。

式(6)、(8)有显式解

u(x,t)=e-i(|u(x,0)|2+|u(x,0)|4)tu(x,0)

(9)

这样只需构造式(7)的差分格式。Strang-type分裂方法在时间上有二阶误差，因此仅从空间方面入手，构造空间四阶格式。

1.3 空间四阶格式

对式(6)应用Crank-Nicolson格式，可以得到

(10)

(11)

将式(11)改写为矩阵形式有

(12)

矩阵A为

矩阵B为

将式(12)拆分组合，有

(13)

令

(14)

这样有

Un+1=CUn

(15)

式(7)有显式解

u(x,t)=e-i(|u(x,0)|2+|u(x,0)|4)tu(x,0)

(16)

这样有

u(x,t+Δt)=e-i(|u(x,t)|2+|u(x,t)|4)Δtu(x,t)

(17)

综上所述，时间分裂空间四阶格式可以表示如下。

步骤1

(18)

步骤2

U**=CU*

(19)

步骤3

(20)

式(18)、(20)的Un，Un+1不再表示子方程(7)的数值解，而是原方程(1)的数值解。

1.4 格式电荷守恒

定理……