毛超利

（中国电子科技南湖研究院，浙江 嘉兴 314002）

0 引言

伴随着计算机技术的高速发展，科学计算已经成为可与理论和实验科学方法相并列的第三种科学方法[1][2]。科学计算中的一个重要内容是数值求解各类偏微分方程（组）[3]。 数值求解偏微分方程（组）具有重要意义。 比如，核爆炸物理过程和流体宏观流动均可用偏微分方程组来描述，借助理论手段解析地求解这些偏微分方程，在当今数学发展水平下依然不可能[4]，利用科学计算方法求取它们的数值逼近解，可以补充试验无法得到的细节，从而利于减少试验次数、节约研发成本和缩短研发周期。 有资料表明[1]，从开始研制至原子弹爆炸成功，我国进行了338 次核试验，而美国、苏联分别进行了936次和716 次试验，其中一个重要原因是我国科学家充分采用了基于科学计算方法求解偏微分方程的数值模拟手段。

数值求解偏微分方程的算法包括有限差分法、有限体积法、有限元法和谱方法。 有限差分法是用差商近似代替微分[2]，从而将连续的偏微分方程转化为代数方程进行求解。有限体积法是将空间离散为结构化网格[2]，在每个网格内施加守恒定律，从而将全局的偏微分方程转化为局部代数方程进行求解。有限元法是把原来待求解的几何空间划分为有限元，并假设每个有限元上的原函数关系可以近似地由一组基函数进行线性组合，将该线性组合带入原偏微分方程，会有一个误差余量，通过引入加权函数将误差余量最小化，就可以得到一个线性方程组，对其求解即可得到原偏微分方程的数值解[5]。……