谭晓漫, 扎其劳

(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

2014年,Latha等推导出一个新的(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程[1]

(1)

其中,q是一个关于空间变量x,y和时间变量t的函数,a,b,c,d是磁耦合系数。该方程用来描述海森堡铁磁自旋链系统中非线性波传播,它也是非线性Schrödinger方程在(2+1)维的推广。通过特殊选择磁耦合系数a,b,c,d的值,方程(1)可表示为可积模型,拥有Lax对[2-3]和无穷多守恒律[3]。也可以通过Darboux变换方法[2-3]、Hirota双线性方法[4]、李群方法[5]以及符号计方算法[6-7]求解方程(1),并获得怪波解[2]、孤子解[3-4]、群不变解[5]、奇异解和周期波解等[5-6]。而目前关于方程(1)怪波解的局域分析和呼吸子解尚未被报道。因此,本文的重点是分析方程(1)怪波解的局域性质和求解呼吸子解。首先,利用符号计算方法构造(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程(1)的怪波解；其次,通过分析怪波解的等高线[8],获得其局域化特征；最后,求得(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程(1)的呼吸子解。

1 怪波解及其局域化特征

1.1 符号计算与怪波解

取方程(1)的种子解为q=e-idx,令其怪波解为

(2)

(3)

将(3)式代入(2)式,得方程(1)的有理函数解

(4)

当b=c=-d=1时,(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程的解(4)在不同维度上的波形如图1所示。当限制维度为x=1,y=1和t=1时,图1中的(a),(b)和(c)分别为怪波和孤子。

图1 x=1时的怪波(a)、y=1时的怪波(b)和t=1时的孤子(c),参数b=c=-d=1Fig.1 By selecting b=c=-d=1,(a) rogue wave with x=1; (b) rogue wave with y=1; (c) soliton with t=1

1.2 怪波解的局域化特征

情形1当x=1时,怪波解(4)可写成

(5)

128b2+64bc2d+8c4d2+64bc2d3+16c4d4-16b2H+64c3d3y+

64bcd2Hy+16c3d3Hy-32c3d5Hy+256bdy2-8bc2dH+

16bc2d3H-c4d2H+4c4d4H-4c4d6H+512b2d2t2+256bc2d3t2+

32c4d4t2-128b2d2Ht2-64bc2d3Ht2-8c4d4Ht2+64bc2d5Ht2+

16c4d6Ht2-256b2d4Ht4-128bc2d5Ht4-16c4d6Ht4+256bcd2y+

256bcd4Hyt2+64c3d5Hyt2+64c2d2y2+64bdHy2+16c2d2Hy2+

256bd3Hy2t2-96c2d4Hy2+64c2d4Hy2t2-128cd3Hy3-64d2Hy4=0。

(6)

(1) 当H=0时,等高线方程(6)化为双曲线

(7)

它的两条渐近线分别为

(8)

图2 密度图、双曲线(长虚线)、渐近线(短虚线)的组合(a)和双曲线(长虚线)、渐近线(短虚线)的组合(b),参……