程金发

（厦门大学数学科学学院 福建 厦门，361005）

1 背景回顾及问题提出

正如我们在本文序言指出的，分数阶微积分的概念几乎与经典微积分同时起步，可以回溯到Euler和Leibniz时期.经过几代数学家的努力，特别是近几十年来，分数阶微积分已经取得了惊人的发展和广阔的应用，有关分数阶微积分的著作层出不穷，例如文献[1-4]，但是在一致格子x(z)=z和x(z)=qz或者q−z,z∈C上关于离散分数阶微积分的思想，仍然是最近才兴起的.

虽然关于一致格子x(z)=z和x(z)=qz的离散分数微积分出现和建立相对较晚，但是该领域目前已经做出了大量的工作，且取得了很大的发展[5-8].在最近十年的学术著作中，程金发[9]，Goodrich 和Peterson[10]相继出版了两本有关离散分数阶方程理论、离散分数微积分的著作，其中全面系统地介绍了离散分数微积分的基本定义和基本定理，以及最新的参考资料.有关q−分数阶微积分方面的著作可参见Annaby 和Mansour[11].

非一致格子的定义回溯到超几何型微分方程[12-13]：

的逼近，这里σ(z)和τ(z)分别是至多二阶和一阶多项式，λ是常数.Νikiforov 等[14-15]将式(1)推广到如下最一般的复超几何差分方程

这里(x)和(x)分别是关于x(s)的至多二阶和一阶多项式，λ是常数，Δy(s)=y(s+1)−y(s),∇y(s)=y(s)−y(s−1)，并且x(s)必须是以下非一致格子.

定义1[16-17]两类格子函数x(s)称之为非一致格子，如果它们满足

这里ci,是任意常数，且

当c1=1,c2=c3=0，或c2=1,c1=c3=0或者时，这两种格子函数x(s)：

称之为一致格子.

给定函数F(s)，定义关于xγ(s)的差分或差商算子为

且

关于差商算子，命题1是常用的.

命题1给定两个复函数f(s),g(s)，成立恒等式

我们必须指……