王子丰， 尤苏蓉

(东华大学 理学院， 上海 201620)

随机泛函微分方程应用于金融、医疗、自动化、循环神经网络等众多领域[1-2]，其特征是系统的状态变化依赖于该方程过去一段时间的表现及其导数，在方程系数满足局部Lipschitz条件、线性增长条件以及中立项的压缩映射条件下，中立型随机泛函方程存在唯一解[1]。Khasminskii条件是对经典线性增长条件的补充，可以包含更多的非线性系数。

Khasminskii条件下随机泛函微分方程解的存在唯一性、稳定性得到了较为广泛的研究[3-4]，这也大大扩展了随机泛函微分方程的应用领域。

在方程满足线性增长条件下，一些经典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、Milstein法、Theta法等被广泛应用于泛函方程，这些形式的数值解的收敛性、稳定性等性质往往较好[5-11]。但是当系数具有非线性特征时，这些性质将会被削弱，甚至数值解的收敛性也得不到保证，而截断思想则可以用于构建具有非线性特征的方程数值解。文献[12-14]首次引入截断Euler-Maruyama数值方法用以研究随机微分方程。文献[15-16]分别将截断Euler-Maruyama数值方法进一步引入时滞方程和泛函方程，使得此数值方法在Khasminskii条件下不仅能够保证解的存在唯一，还能保证其数值解收敛于精确解，但是没有数值解稳定性分析的相关结论。本文针对此问题展开研究，在使用与解析解相同假设的情况下，证明数值解具有均方指数稳定的特征。

1 问题背景

考虑以下非线性中立型随机泛函微分方程

d[x(t)-D(xt)]=f(xt，t)dt+g(xt，t)dB(t)，

t>0

(1)

初值为

x0={ξ(θ)∶-τ≤θ≤0}∈C([-τ， 0]；Rd)

其中f∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd，g∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd×m为其系数，D∶C([-τ， 0]；Rd)→Rd为中立项，且满足E‖ξ‖2<∞。

若方程(……