李 泽, 魏 超

(南京财经大学 应用数学学院， 江苏 南京 210023)

0 引言及预备知识

模空间作为一类较为抽象的空间, 扩展了包括Lp空间、Orlicz空间在内的许多空间框架, 引起了众多学者的关注[1-3].近年来, 模空间中的公共不动点问题得到国内外学者广泛深入的研究. 2007年, Nabizadeh E利用Δ2条件, 在模空间中给出了一类非线性收缩映射及渐近收缩映射的不动点定理[4]; 2008年, Khamsi M A给出了模空间中没有Δ2条件的拟压缩映射的不动点定理[5]; 2012年, Wang X等人将Banach空间中的渐近逐点非扩张映射的概念引入到模空间中, 并在模空间中证明了该映射具有不动点[6]; 2016年, Özturk M等人给出了模空间中ψ-φ广义压缩映射的概念, 并且证明了一类公共不动点定理[7].

本文拟在模空间中探讨公共不动点问题, 将度量空间中的多个映射及一类无限族自映射的公共不动点定理推广至模空间, 进一步丰富模空间的相关理论.

定义1 设X为数域K=R或K=C上的任一向量空间. 对于X中的∀x,y, 泛函ρ:X→[0,+∞)被称为X上的模, 如果:

(a)ρ(x)=0当且仅当x=0;

(b)ρ(αx)=ρ(x)当α为标量时且|α|=1;

(c)ρ(αx+βy)≤ρ(x)+ρ(y), 如果α,β≥0且α+β=1.

若条件(c)被ρ(αx+βy)≤αsρ(x)+βsρ(y), 其中αs+βs=1,α,β≥0且s∈(0,1]替代, 则称模ρ为s-凸模. 如果s=1, 则称模ρ为凸模. 若向量空间Xρ={x∈X|ρ(λx)→0,当λ→0}, 则称向量空间Xρ为模空间.

定义2 设ρ为定义在X上的模,Xρ为模空间.

(a) 对于序列{xn}⊂Xρ, 点x∈Xρ, 若n→∞时, 有ρ(xn-x)→0, 则称序列{xn}ρ-收敛于点x. 记为xn→x；

(c) 若Xρ中的每个柯西列都ρ-收敛, 则称Xρ为完备的模空间；

(d) 当模ρ满足Δ2条件时： 若n→∞时,ρ(xn)→0可推出ρ(2xn)→0；

(e) 设映射S为Xρ上的自映射, 若xn→x时, 有Sxn→Sx, 则称映射S为Xρ上的连续映射；

(f) 若xn→x时, 有ρ(xn)→ρ(x), 则称模ρ为连续的.

1 主要结果

证明任取x0∈Xρ, 由于f(Xρ)⊂T(Xρ), 故存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1. 又因为gx1∈S(X), 则存在x2∈X使得gx1=Sx2. 故……