马 燕, 韩 菲, 罗小蓉

(新疆师范大学 数学科学学院， 新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

半线性椭圆方程的梯度估计已被很多学者研究.1987年,Trudinger N S利用了强极值原理和解的严格凸性研究了球中退化的完全非线性椭圆方程的梯度估计[1]即F(D2u)=g(x,u).2001年,Gilbarg D等人利用伯恩斯坦方法讨论了方程关于u,u是线性的情况[2]，即aij(x)Diju=f(x,u).这个方法是用一个恰当的算子作用在一个与u有关的测值函数上,使其满足极值原理[3-4],由此推出方程的梯度估计.该过程是伯恩斯坦方法做梯度估计的思路.2002年,金永阳利用了极值原理和Green函数的性质研究了一类非散度型椭圆方程解的梯度估计[5]，即-aijuxiuxj=f(x,u),其中

2005年，兰乃端,常保平利用了极值原理研究了一类半线性椭圆方程边值问题解的梯度估计[6]，即

△u=f(x,u).

2016年,麻希南，徐金菊等人利用了极值原理研究了平均曲率方程，Hesse方程的Neumann问题[7-8]，得到方程解的梯度估计，即

δk(D2u)=f(x,u),

其中Ω是Rn上的有界区域.

受上述研究的启发,本文考虑如下方程

aij(x)Diju=f(x,u,u),

其中Ω是Rn中的有界连通区域,u∈C2(Ω),f∈C(Ω×Rn),若满足如下条件：

aij(x)ξiξj≥λ|ξ|2，对于任意x∈Ω,ξ∈Rn,

其中λ是一个正常数，称方程在Ω中是一致椭圆的.

梯度估计包括全局梯度估计[9]和内估计[10],本文主要讨论全局梯度估计.下面将用一类半线性椭圆方程来说明通过构造一个合适的测值函数，使其满足极值原理，从而推出结果.

1 预备知识

aij(x)Diju=f(x,u),

2 主要结果

aij(x)Diju=f(x,u,u)

(1)

下面主要处理f的二阶项.

证明设测值函数ω=|Du|2+α|u|2+eβx1,其中α,β待定.

故有

推出

由此定理得证.

接下来，分开来考虑测值函数ω中的每一项.

设L=aijDij,先算L(|Du|2),其中

和

(2)

故有

对式(1)两边关于xk求……