郭增鑫,胡彦鑫,辛祥鹏

(聊城大学 数学科学学院,山东 聊城 252059)

0 引言

自然界很多现象如流体力学,电磁学,种群发展,量子力学等领域都可以用非线性偏微分方程表述。如今非线性偏微分方程已经成为构成当代数学和物理沟通的重要桥梁,近几十年已经有很多方法求解非线性偏微分方程,比如Lax方法[1,2],Bäcklund 变换法[3,4],Riccati方程法[5],反演散射法[6],Darbox变换法[7,8],双线性函数法[9,10],函数展开法[11],CK直接约化法[12],Painlevé检验方法[13,14],经典李群方法[15-17]，并得到了大量的结果。其中李群方法是构造精确解非常有效的方法,近年来很多优秀的成果都与李群方法相关。如文献[13]作者对Zakharov-Kuzentsov方程进行对称约化并求出其精确解,文献[15]作者求出2+1维广义浅水波方程的类孤子解与周期解,文献[18]作者求出一类Poisson方程的最优系统和群不变解。

本文研究一类二阶非线性麦克斯韦方程

(1)

其中u(x,t)为x,t的函数,c为由真空电介常量ε0和磁常数μ0所确定的正数。麦克斯韦方程作为电磁学理论的基础,其线性形式和非线性形式在物理及工程领域有着广泛的应用。线性的麦克斯韦理论已被大众所熟知,对于非线性麦克斯韦理论,目前大部分学者对该方程的数值解和误差分析做了一些研究,如文献[19]中作者提出了非线性麦克斯韦方程在满足齐次狄利克雷边界条件和给定初始值情况下,采用后向欧拉方法进行时域离散化的方法,对利普希茨连续 情形的误差进行了计算,并在适当的函数空间得到了误差估计。数值仿真表明,误差估计结果依赖于非线性特性,而且能快速收敛。……