牛新宇，吕 闯，郑甲山

(1.吉林医药学院数学教研室，吉林 吉林 132013；2.鲁东大学数学与统计科学学院，山东 烟台 264025)

1 预备知识

经典的具饱和发生率的SIR模型具有如下形式：

(1)

其中：S表示易感者的数量，I表示感染者的数量，R表示康复者的数量，易感者的输入量记为Λ，β表示疾病传输率，μ表示自然死亡率，ε表示因病死亡率，γ表示康复率，饱和系数记为α.在现实生活中，环境噪声是普遍存在的.文献[1]考虑环境白噪声对系统(1)的影响，提出如下随机模型：

(2)

其中：σ>0；B(t)是定义在完备的概率空间(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的标准布朗运动，且其σ域流满足通常条件.由于舱室R对疾病的传输不起作用，所以在模型(2)中直接将舱室R省略.

事实上，除了白噪声之外，还有另外一种噪声也对传染病的传输起着重要作用.由于受到降水、温度变化的影响，环境经常在几个不同的状态间切换，与此对应，在每一个不同的状态下，系统(2)中的系数可能取不同的值.在这里假定环境状态的切换由一个连续的Markov链r(t)(t≥0)来描述.其状态空间为有限空间，记为S={1，2，…，N}；Markov链的生成子Γ=(γij)N×N定义为

(3)

于是方程(3)可以写成

这里N(dt，dz)是一个泊松随机测度，密度为dt×m(dz)，m是定义在R上的勒贝格测度.

将状态切换考虑进去，系统(2)可以化为

(3)

其中参数Λ(i)，β(i)，μ(i)，ε(i)，γ(i)，α(i)，σ(i)，i∈S均为正常数.

在最近的文献中，很多作者都讨论过具Markov切换的随机生物模型解的遍历性[2-4]，但这些模型对应的扩散阵都是非退化的，从而满足一致椭圆条件.然而在模型(3)中扩散阵为

显见该矩阵是一个退化矩阵.因此在寻求系统(3)的遍历性时，需要克服一些特定的困难，例如：确定系统的最大吸收集合；验……