高慧明

函数内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点. 在新课标下的高考越来越注重对考生的综合素质的考查，恒成立与存在性问题便是一个考查考生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分. 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法;②分离参数法;③主参换位法;④数形结合法等.

一、函数性质法

【例1】（1）已知函数f（x）=x2-2ax+1，g（x）=■，其中a>0，x≠0.若对任意x∈[1， 2]，都有f（x）>g（x）恒成立，求实数a的取值范围;

（2）已知两函数f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若对任意x1∈[0， 2]，存在x2∈[1， 2]，使得f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围.

【分析】（1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数f（x）>g（x）>0恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题.

（2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数f（x）和g（x）分别求出它们的最值，再根据只需满足f（x）min ≥g（x）min即可求解.

【解析】（1）由x2-2ax+1-■>0？圯a<■成立，

只需满足？渍（x）=■的最小值大于a即可.

对？渍（x）=■求导，？渍′（x）=■>0，

故？渍（x）在x∈[1， 2]是增函数，？渍min（x）=？渍（1）=■，

所以a的取值范围是0

（2）对任意x1∈[0， 2]，存在x2∈[1， 2]，使得f（x1）> g（x2）等价于g（x）=（■）x-m在 [1， 2]上的最小值■-m不大于f……