孙玉虎,王 龙

(1. 中国矿业大学徐海学院 基础教学部,江苏 徐州 221008；2. 扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州 225002)

1 预备知识

目前,关于环中广义逆包含性质的研究已有很多结果[1-8],本文在幂等自反环中讨论广义逆的包含性质.

设R表示一个有单位元的结合环,如果存在一个元素x∈R,使得方程

axa=a

(1)

成立,则称元素a(von Neumann)正则. 此时,元素x称为a的内逆(或者a的{1}-逆). 本文用Reg(R)表示环R中所有正则元素的集合. 如果Reg(R)=R,则称环R为正则环. 通常一个正则元可能有不止一个内逆,用a{1}表示元素a所有内逆的集合. 若存在一个元素x∈R使得方程

xax=x

(2)

成立,则称元素x是a的一个外逆(或者a的{2}-逆),用a{2}表示元素a所有外逆的集合. 如果存在一个元素x∈R既是a的内逆又是a的外逆, 则称x为a的一个自反逆. 用a{1,2}表示元素a所有自反逆的集合.

设*是R的一个反自同构,如果对任意a∈R均有(a*)*=a,则称*为R的一个对合. 带有一个对合*的环称为*-环. 如果关于x的方程(1)、方程(2)及下列两个方程有解：

(ax)*=ax,

(3)

(xa)*=xa,

(4)

则称*-环R中元素a是Moore-Penrose可逆的[1]. 此时,解x是唯一的,称为元素a的Moore-Penrose逆,记为a†. 一般元素未必是Moore-Penrose可逆的. 若存在元素x满足方程(1)和方程(3),则称元素a是{1,3}-可逆的,x称为元素a的一个{1,3}-逆. 通常情况下,a的{1,3}-逆不是唯一的. 用符号a{1,3}表示a的所有{1,3}-逆集合. 类似地,用符号a{1,4}表示a的所有{1,4}-逆集合.

引理1[2]假设R是一个半素环,a和b为环R中两个正则元. 如果a{1}=b{1}或a{1,2}=b{1,2},则a=b.

引理2[3]假设R是一个半素环,a和b为环R中两个正则元. 如果a{1,2}⊆b{1,2},则a=b.

如果存在一个环中可逆元素u∈R使得方程aua=a成立,则称元素a为单位正则的[4]. Lee[5]考虑了素环中广义逆的包含性质,推广了Hartwig等[6]关于单位正则元的相关结果.

引理3[5]假设R是一个素环,a和b为环R的两个正则元. 如果a{2}⊆b{2},则a=b.

2 主要结果

用E(R)表示环R中所有幂等元的集合. 对于环中任意元素a,e∈E(R),若aRe=0蕴含着eRa=0,则称环R是左幂等自反的[7]. 若eRa=0蕴含着aRe=0,则称环R是右幂等自反的. 如果环R既是左幂等自反的也是右幂等自反的,则称环R是幂等自反的.

命题1如果R是一个半素环,则R是幂等自反的.

证明：对任意元素a,e∈E(R),使得aRe=0,可以证明eRa=0. 事实上,若eRa≠0,则存在元素b∈R使得eba≠0. 注意到

ebaReba=eb(aRe)ba=0,

由于R是一个半素环,从而可得eba=0,矛盾,即R是左幂等自反的. 类似可证明R也是右幂等自反的.

例1设R=4,模4剩余类环. 则易验证R是幂等自反的,但不是半素的. 因此,命题1的逆命题未必成立.

定理1假设R是一个幂等自反*-环,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}⊆b{1,3},则b*b=b*a,Rb*⊆Ra*.

证明：假设w∈a{1,3},则易验证对任意x∈R,

v=w+(1-wa)x∈a{1,3}.

由题设a{1,3}⊆b{1,3},可知w,v∈b{1,3},进一步有

bwb=b,b[w+(1-wa)x]b=b.

因此,b(1-wa)xb=0. 设b0∈b{1,3},则b(1-wa)xbb0=0. 由于环R是一个幂等自反环,则

bb0xb(1-wa)=0.

取x=1,则有b=bwa. 由于w∈b{1,3},则bw=(bw)*且b*bw=b*(bw)*=(bwb)*=b*. 对b*bw=b*右乘a可得b*bwa=b*a,即b*b=b*a. 此外,由于b*bw=b*,b=bwa,则

b*=b*bw=b*bwaw=b*bw(aw)*=b*bww*a*∈Ra*.

证毕.

类似定理1的证明,可得如下结果:

推论1假设R是一个幂等自反*-环,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若b{1,3}⊆a{1,3},则a*a=a*b,Ra*⊆Rb*.

对半群S中的两个元素a和b,如果aS=bS且Sa=Sb,则称a和b是空间等价的[8]. 类似地,对环R中的两个元素a和b,如果aR=bR且Ra=Rb,则称a和b是空间等价的.

定理2假设R是一个幂等自反*-环,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},则元素a和b是空间等价的.

定理3假设R是一个幂等自反*-环,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},则a=b.

证明：对任意w∈a{1,3},由于a{1,3}=b{1,3},则w∈b{1,3}. 由定理2可知,元素a和b是空间等价的,即aR=bR且Ra=Rb. 于是存在s和t,使得b=as且a=tb,进一步可得

b=as=(aw)as=awb=(tb)wb=tb=a.

由命题1和定理3可得如下结果：

定理4假设R是一个半素*-环,且a,b∈R是{1,3}-可逆的. 若a{1,3}=b{1,3},则a=b.

进一步,有:

推论2假设R是一个幂等自反*-环,且a,b∈R是{1,4}-可逆的. 若a{1,4}=b{1,4},则a=b.

证明：由a*{1,3}=a{1,4},可知a{1,4}=b{1,4}当且仅当a*{1,3}=b*{1,3}. 由定理3可得a=b.

类似推论2的证明,可得如下结果:

推论3假设R是一个半素*-环,且a,b∈R是{1,4}-可逆的. 若a{1,4}=b{1,4},则a=b.