纳文, 孙福鹏, 曾澍楠, 孙华飞

(北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081)

对于非线性问题如果强行利用线性方法处理，可能带来很大误差，达不到必要的精度. 几何方法在处理非线性问题时发挥重要的作用. 把所研究的非线性问题纳入几何框架，在流形上每一点处的切空间上定义内积-黎曼度量，使之成为黎曼流形，就可以给出几何刻画，利用黎曼梯度算法求解定义在黎曼流形上的目标函数的最优值. 本文利用黎曼几何研究正定矩阵系统的控制问题. 在文献[1-8]中，作者们设计了随控制系统，使得系统的输出所服从的概率密度函数与事先指定的目标越接近越好. 其中利用了信息几何的方法，特别是利用了Fisher信息矩阵充当黎曼度量，把Kullback-Leibler散度作为所谓的距离函数，并给出了算法. 对于上述问题，由于经典信息几何理论框架的制约，上述算法无法给出更加深入的研究. 另一方面，矩阵信息几何的主要载体是一般线性群的子流形或李子群，黎曼几何、拓扑学、纤维丛、代数拓扑、李群与李代数等深刻的数学都可以发挥作用. 目前，信息几何用来研究非随机的非线性问题，并在图像处理、信号处理等方面获得了成功的应用. 作为启发，在文献[9-14]中，作者利用矩阵信息几何的思想，设计了输出是正定矩阵的控制系统，使得输出与事先指定的目标越接近越好. 其中，充分利用了矩阵信息几何优越性，即把正定矩阵全体看成黎曼流形，并引入了仿……