胡海友

基本模型：形状不变的三角形（△ABC），有一个顶点（A）固定不动，如果第二个顶点B在一条定直线上运动，那么第三个顶点C必在一条定直线上运动.以这一模型为背景的动点问题是中考常见题型，下面以中考题为例简析解此类题的关键.

一、认识模型，找寻方法

例1（2020·辽宁·沈阳·第24题）在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC.

（1）如图1，当α = 60°时，①求证：AP = CD;②求∠DCP的度数.

（2）如图2，当α = 120°时，请直接写出PA和DC的数量关系.

（3）当α = 120°时，若AB = 6，BP = [31]，请直接写出点D到CP的距离 .

[P][D][B][C][A][图1] [D][P][A][C][B][图2]

分析：①寻找模型：△BPD为顶角为α的等腰三角形（形状不变）;△BPD的第一个顶点B固定不动，第二个顶点P在直线AC上，则第三个顶点必在一条定直线上.

②证明思路：先找到△BPD的一个特殊位置△ABC（点P与点A重合），然后证明△PBA和△DBC全等或相似，得到∠BCD = ∠BAP = 180° - α，所以∠BCD为定角，又因为CB为定边，可得CD为定直线，所以点D在定直线CD上运动.

解：（1）易得图1中△ABC和△BPD都是等边三角形，可证△PBA ≌△DBC（SAS），得AP = CD，∠BCD = ∠BAP = 120°，所以∠DCP = ∠BCD - ∠ACB = 120° - 60° = 60°.

（2）图2中的△ABC可以看作是△BPD的一个特殊位置（点P与点A重合），符合上面模型，先证△ABC ∽△PBD，可得[BPBD] = [ABBC]，可证得∠PBA = ∠DBC，进而证得△PBA∽△DBC（两边成比例且夹角相等），得[CDAP] = [BCBA] = [3]，∠BCD = ∠BAP = 60°，所以∠PCD = ∠BCD - ∠ACB = 60° - 30° = 30°.

（3）如图3，△CBP中，已知两边和一角，即BC = [3AB] = 6[3]，BP = [31]，∠BCP = 30°，过点B作BN⊥CP交直线CP于N. 即可求出AP = 1或5，再由第（2）问中的[CDPA] = [3]可求得CD = [3]或5[3];过点D作DM⊥PC于M，由前面结论∠PCD = 30°可求得DM = [32]或[532] .

二、强化模型，拓展提升

例2（2020·湖北·襄陽·第24题）在△ABC中，[∠BAC=90°]，[AB=AC].点D在边[BC]上，[DE⊥DA]且[DE=DA]，[AE]交边[BC]于点[F]，连接[CE].

（1）特例发现：如图4，当[AD=AF]时，①求证：[BD=CF];②[∠ACE=] °.

（2）探究证明：如图5，当[AD≠AF]时，[∠ACE]的度数是否为定值，并说明理由.

（3）拓展运用：如图6，在（2）的条件下，当[EFAF=13]时，过点[D]作[AE]的垂线，交[AE]于点[P]，交[AC]于点[K]，若[CK=163]，求[DF]的长.

（4）变……