冉银霞

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500）

1987 年，Zagier 在文献[1]中询问椭圆曲线y2=x3+27x- 62的最大整数点是否为（28844402，154914585540），由于这是一类典型的秩等于1 且有大整数点的一种椭圆曲线，所以该问题对于讨论椭圆曲线的算术性质有着重要的意义. 因此，椭圆曲线整点问题对于在不同情况下构造合适的椭圆曲线函数具有重要的理论意义及应用前景. 然而寻找其较大正整数解非常困难，其耗费的时间可以用正整数的指数幂来计算. 因此，针对不同的椭圆曲线解决的方法也有待探讨与提高.

针对椭圆曲线y2=(x+a)(x2-ax+p)的整数点，研究结果主要集中在：

1）当a=- 2时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[2-7]：p= 7,15,18,23,31,43,139；

2）当a= 2时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[8-12]：p= 7,15,23,27,31,43；

3）当a=±2时，已经找到了当p= 36s2- 5，s为正奇数，且 6s2- 1， 12s2+ 1均为素数[13-14]时的全部整数点；

4）当a=- 6时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[15-16]：p= 15,19；

5）当a= 6时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[17-18]：p= 15,19.

针对椭圆曲线y2=（x+a）（x2-ax+p），本文将讨论a=±2,p= 37的情况，得到了如下结论：

定理椭圆曲线y2=x3+33x±74仅有整数点（x,y）=（-2 ,0）与（2,0 ）.

1 主要引理

引理1[19]25设是方程的某结合类k的基本解是的基本解，则有

引理2[19]26设是方程的某结合类k的基本解，是的基本解，则有

引理3[19]27设D＞ 0，N＞ 0，D不是平方数，不定方程u2-Dv2=N或u2-Dv2=-N的解仅有有限个结合类. 所有结合类的基本解可由引理1、引理2 经有限步求出. 设是类k的基本解，则类k的全部解可经表出，其中是的基本解，n为整数.

2 定理的证明

设椭圆曲线

的整数点为（x,y），显然，（x,y）=（-2 ,0）与（x,y）=（2,0）是（1）的解. 下面讨论方程（1）的非平凡解.设……