柳 鸠

（黔南民族师范学院数学与统计学院 复杂系统与计算智能重点实验室，贵州 都匀558000）

考虑如下p-Kirchhoff型问题

其中

为D1，p（RN）嵌入Lp*（RN）的临界指数.空间

的标准范数为

空间Ls（RN）的标准范数为为非零非负函数.

文献［1］研究了问题（1）.当λ＝0时，利用分析技巧获得了无穷多个正解的存在性；当λ＞0时，利用变分方法获得了正解的存在性.特别地，在1＜p＜N＜2p，λ＞0的假设下：（i）当a＝0时，获得了问题（1）的一个正局部极小解和一个正山路解；（ii）当a＞0时，只证得了一个正局部极小解.究其原因，在情形（ii）时，没有证得局部（PS）c条件成立.一个值得研究的问题是：如何证得局部（PS）c条件成立使得问题（1）具有山路解？

当p＝2时，文献［2］获得了问题（1）正解的存在性与多重性；文献［3-4］研究了带超线性项的临界Kirchhoff型问题正解的存在性与多重性.关于更多的Kirchhoff型问题和p-Kirchhoff型问题，可参阅文献［5-11］.

问题（1）对应的能量泛函为

其中u+＝max｛u，0｝.显然，Iλ∈C1（D1，p（RN），R）且对任意的u，v∈D1，p（RN）有

众所周知，问题（1）的解与能量泛函Iλ在空间D1，p（RN）上的临界点是一一对应的.

记S为的最佳Sobolev常数，即

当a＝1，b＝0，λ＝0时，问题（1）退化到如下经典的拟线性椭圆方程

由文献［12］知

是问题（3）的正解且

本文的主要结论如下.

定理1假设a，b，λ＞0，1＜p＜N＜2p，则存在˜λ＞0使得对任意的λ∈（0，˜λ）问题（1）有一个山路解.

注1本文的结果补充了文献［1］中定理1.4（1）的结论.

为了证明定理1，给出一些基本引理.定义

有如下结果.

引理1假设a，b＞0，1＜p＜N＜2p，则方程H（r）＝0有唯一的正解r0且H（r）≤0的解集为｛r：r≥r0｝.

证明对任意的r＞0，有

因为1＜p＜N＜2p，所以p*＞2p.定义

则H（r）在［0，rmax］上严格递增，在［rmax，+∞）上严格递减.结合知，存在唯一的r0＞rmax使得H（r0）＝0.显然，不等式H（r）≤0的解集为｛r：r≥r0｝.

引理2假设a，b＞0，1＜p＜N＜2p，则对任意的泛……