宋瑞丽， 苏 晓

（1.郑州经贸学院基础学科部，河南郑州451191； 2.河南工业大学理学院，河南郑州450001）

研究下列四阶具双阻尼项非线性波动方程的周期Cauchy问题小振幅解的存在性及衰减估计，其中，x∈R，ξ、η是已知的初始函数，u（x，t）是未知函数且满足u（x+2π，t）＝u（x，t），下标t和x分别表示关于t和x求偏导，μ＞0为常数，非线性函数f∈Ck（R）满足｜f（l）（u）｜≤｜u｜α-l且0≤l≤k≤α，α＞1.

文献［1］探讨了孤立水波，这推进了人们对描述流体、等离子体、弹性体中波动现象的非线性偏微分方程的研究.文献［2］首次提出了如下2种基本形式的Boussinesq（Bq）方程：

文献［3-4］研究了多维IMBq方程

的Cauchy问题解的整体存在性和唯一性，并给出该方程解不存在的充分条件以及小振幅解的整体存在性和唯一性.文献［5］研究了具有阻尼项的IMBq方程

的Cauchy问题解的整体存在性和解的爆破，其结果与文献［3］相似，但没有体现阻尼项对解存在性和解性质的影响.文献［6-7］利用Besov空间改进了文献［5］中的一些结果.文献［8］研究了方程（4）的Cauchy问题在小初值下解的整体存在性和解的衰减性并体现了阻尼项对解的影响.文献［9］对方程

的Cauchy问题做了进一步研究.大多数学者研究的是这类方程的Cauchy问题或初边值问题，对其周期问题的研究结果还相对较少.本文同时考虑2种阻尼项，研究在小初值下周期Cauchy问题（1）和（2）解的整体存在性、唯一性和衰减性.

约定使用如下记号：Lebesgue空间Lp＝Lp（Rn），且赋予范数‖·‖L p.周期函数的Sobolve空间

周期函数的齐次Sobolve空间及其范数

1 线性方程的衰减性

下面讨论线性Cauchy问题

解的衰减性质.利用周期函数性质、Fourier变换和Duhamel原理，可得……