林府标， 张千宏

（贵州财经大学 数统学院，贵州贵阳550025）

群体平衡模型广泛用于微粒过程及系统等众多领域［1-5］.如生物化学、农业科学、医药科学等领域中微生物、细菌、细胞的出生、生长、死亡、传输、破损等过程.细胞的分裂导致新的子细胞出生和死亡的微生物群体平衡方程（积分-偏微分方程）［1，3-5］可写成

其中，x表示细胞质量，t表示时间.进一步，f（x，t）表示微生物种群密度，假设密度函数f（x，t）足够光滑且任意阶偏导数均连续，G（x，t）表示细胞的生长率，v（x，t）表示t时刻细胞分裂的平均数量，Γ（x，t）表示细胞的出生率，p（x，y）表示原质量是x的细胞分裂成质量是y的子细胞的概率，概率函数满足正则性条件：

考虑细胞的生长率、分裂平均数量及出生率皆为常数，对研究微生物种群细胞分裂过程是有价值和意义的.若选取动力学参变量函数

其中g、ν、κ均为正常数，则在约束限制条件（2）下群体平衡方程（1）可简化成

寻找群体平衡方程的精确解及解析解技术比较困难，实体工程科学应用领域常采用数值实验方案［1-4］进行研究，如对一般简单积分-偏微分方程（1）对应的实体模型，探寻精确解都是比较棘手的问题.虽然经典李群分析方法［6-10］是计算常微分方程和纯偏微分方程的对称群的有效方法之一，但不能用于计算积分-偏微分方程（1）和（3）的对称群.近年来，改进的李群分析方法［11-12］已被用于研究群体平衡方程的对称群、约化-积分常微分方程及精确解［13-16］.运用改进了的李群分析方法探究积分-偏微分方程……