张健芳， 高增辉

（成都信息工程大学应用数学学院，四川成都610225）

在同调代数中，投射模、内射模和平坦模是基本且重要的研究对象.1970年，Stenström［1］引入FP-内射模的概念，并利用该内射模刻画了凝聚环.称一个右R-模M为FP-内射的，如果对每个有限表现右R-模F，都有Ext1R（F，M）＝0成立.相应地，右R-模M的FP-内射维数FP-idR（M），定义为使Extn+1R（F，M）＝0的最小正整数n；如果这样的n不存在，那么记为FP-idR（M）＝∞.进而定义环R的右整体FP-内射维数为r.FP-dim（R）＝sup｛FP-idR（M）｜M是一个右R-模｝.对任意非负整数n，称一个右R-模是有限n-表现的，如果存在一个右R-模的正合列Pn→Pn-1→…→P0→M→0，其中每个Pi是有限生成的投射模［2-3］.1994年，Costa［2］利用有限n-表现模类定义并研究了n-凝聚环（即环R称为右n-凝聚，若每个有限n-表现右R-模是有限（n+1）-表现）.1996年，Chen等［4］定义了n-FP-内射与n-平坦模，并且给出n-凝聚环一些类似于凝聚环的很好的刻画.

2003年，周德旭［5］引入FPn-内射与FPn-平坦模的概念，并利用它们刻画了右n-凝聚环.称一个右R-模M为FPn-内射模，若对任意的有限n-表现右R-模P，有Ext1R（P，M）＝0.2017年，Bravo等［3］也定义了FPn-内射模和FPn-平坦模的概念，讨论与有限n-表现模和n-凝聚环相关的相对同调性质，得到许多很好的刻画.2005年，Mao等［6］引入并研究模与环的FP-投射维数.设M是右R-模，记fpd（M）＝inf｛n｜Extn+1R（M，N）＝0，N是任意FP-内射右R-模｝，称为M的FP-投射维数.若不存在这样的n，则规定fpd（M）＝∞.特别地，若fpd（M）＝0，则称M为FP-投射模.环R的右FP-投射整体维数定义为

rfpD（R）＝sup｛fpd（M）｜M是一个有限生成右R-模｝.随后，FP-投射模及FP-投射维数受到了广泛关注和研究［7-9］.受文献［3］和［5］的启发，对任意整数n≥0或n＝∞，引入FPn-投射模和模的FPn-投射维数的概念，并利用它们给出右n-凝聚环一些新刻画.

下面所讨论……