张露露,廖茂新,邓兴颖

(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421000)

0 引 言

传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病，部分传染病会长期伴随人类共存，而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡。[1]在人们与传染病的长期抗争过程中，研究者们逐渐发现，在人体受到感染后，感染初期并不会表现出任何的症状，在一定时间之后，某些症状才回逐步表现出来。[2-8]也就是说，在传染病的传播过程中，某时刻种群的变化除受当前状态影响外，也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]。但在研究初期，研究者们一般未考虑到时间滞后的因素。我们在传染病模型中将时滯因素考虑进来，可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态，以帮助我们提出、制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]。

在前人的基础上，本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型，研究了平衡点的稳定性，及Hopf分支的存在。在传染病模型中引入时滯，用于模拟传染病的潜伏期，利用基本再生数R0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡；发现了在一定的条件下，时滯的引入会导致系统出现周期解，地方病平衡点E*处出现Hopf分支。

(1)

式中:S(t),I(t),R(t)分别表示在t时刻易感染人群、已感染人群和恢复人群的数量;k是比例常数，b为人口的新增率，d为人口的自然死亡率，u是已感染人群的自然恢复率，r是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率。

1 稳定性分析及Hopf分支存在的条件

(2)

对系统(1)首先分析其在平衡点E0处的稳定性。求得系统(1)的线性化矩阵为

(3)

特征矩阵为

(4)

定理1：当R0<1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0>1时，无病平衡点E0是不稳定的。

令f(λ)=0，得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根，且有λ3满足

(5)

(6)

即

由于R0<1，则Re(λ)<0，则g(λ)=0的所有根具有负实部，则R0<1时，无病平衡点E0是局部渐进稳定的。

引理2：当R0>1，τ=0时，正平衡点局部渐进稳定。

证明：系统在正平衡点E*处的特征方程为

其中:p0=2d+r+u，p1=(d+u)(d+r)，p3=d+r，p4=d+r+u，a0=kS2(t)，b0=2kI(t)S(t)。

f1(λ)=0，易得λ=-d是方程负实根，其它根由以下方程确定

(7)

当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4。

利用Routh-Hurwotz准则

p0+b0-a0=(2d+r+u)+2k×

则只需要b-dS*>0(R0>1)时，p0+b0-a0>0。

p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2k×

(d+r+u)

只需要b-dS*>0(R0>1)时，p1-a0p3+b0p4>0。

由Routh-Hurwotz准则知，方程根具有负实部，因此当τ=0,(R0>1)时，地方病平衡点E*局部渐进稳定。证毕。

引理3：当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时，方程具有一对纯虚根±iθ(θ>0)。

证明：当τ>0时，g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]，将λ=iθ代入式中，并分离虚实部，得

(8)

两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2，化简得

(9)

解得：

(10)

由式(8)，可得

(11)

令

g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ(q1λ+q2)

(12)

其中q1=b0-a0,q2=b0p4-a0p3。

式子(12)左右两边关于τ求导

(13)

可得

(14)

计算再有

(15)

则有

证毕。

由引理2、引理3、引理4，结合Hopf分支理论与文献[4，11，16]可得到如下结论：

定理2：当p1-a0p3+b0p4>0，p1+a0p3-b0p4<0，且当R0>1时，如果τ∈[0,τ0)时，τ0=min(τj)，那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0，那么系统(1)的平衡点是不稳定的，且当τ=τj时，系统(1)的平衡点经历Hopf分支。

2 数值模拟

前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响，接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响。取参数b=1，d=0.8，u=0.2，r=0.4，k=4，则系统(1)为

(16)

在同样参数条件下，选择τ=2.0>τ0时，此时地方病平衡点不再稳定(见图2)。

图1 当τ=1.3<τ0时，模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1 The positive equilibrium of (16) was asympomatic stable when τ=1.3<τ0

图2 当τ=2.0>τ0时，模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2 The positive equilibrium of (16) wasn’t stable when τ=2.0>τ0

3 结 论

本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性，确定了基本再生数R0，由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性。对于任意时滞，当R0<1时，无病平衡点全局渐进稳定的，即随着时间的推移，疾病最终消亡；R0>1，时滞不为零时，在一定条件下，E*不再稳定，系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支。