具有非对称条件下二阶非自治系统同宿解的多重性

2021-03-15陈会文李家萌

南华大学学报（自然科学版） 2021年1期

关键词：范数非对称证明

肖可,陈会文,李家萌

(南华大学数理学院,湖南衡阳 421001)

0 引言

考虑二阶非自治系统

(1)

当B=0时，系统(1)为二阶Hamilton系统,

ü(t)-L(t)u(t)+W(t,u(t))=0，∀t∈R

(2)

很多文章在对L和W进行的各种假设条件下，运用了变分方法研究系统(2)哈密顿系统同宿解的存在性和多重性，如文献[2-6]。Hamilton系统作为动力系统的一种特殊情况，在物理和数学的研究领域，是当前十分热门的问题之一。它在相对论力学、气体动力学、核物理、数理科学、生命科学等各个方向都扮演着重要角色。Hamilton系统同宿解作为Hamilton系统的主要研究内容，并且知道Hamilton系统是具有变分结构的，所以可以把求系统的解转化为探求与之相对应的泛函的临界点。近年来，越来越多的学者开始利用变分法来研究Hamilton系统的同宿解、异宿解，但很多的文章结论都是在对称条件下得到的，如文献[2-8],而非对称条件的文章较少，如文献[9-10]。

与B=0的情况相比，B≠0的情况更加复杂且更加一般,对于B≠0的研究如文献[3,8,10-14],但这些都是在对称条件下得到的,很少有人在非对称的基本条件下,研究同宿解的多重性。根据这样的背景下，本文在设定了非对称的条件后，并且考虑了B≠0的情况，研究系统(1)同宿解的多重性。

假设条件：

(S0)W(t,u)=λa(t)G(u)+μb(t)F(u)。

(S1)L∈C(R,RN×N),L(t)是对称正定矩阵,t∈R,且存在函数α：R→R使得α(t)→+∞,|t|→∞，以及(L(t)u,u)≥α(t)|u|2。

(S2)G,F∈C1(RN,R)，G(0)=F(0)=0。

(S3)b∈L∞(R,R)，并且对一些γ∈(0,1)。a∈L∞(R,R)∩L2/(1-γ)(R,R),b是一个正连续函数。

(S6)存在ζ∈RN,使得G(ζ)>0。

(S7)存在T>0和α>1，使得|F(u)|≤T(|u|+|u|α),∀u∈RN。

定理1假设(S0)～(S8)成立，那么就会存在λ1>0，使得对每一个λ>λ1，都存在有σ>0，使得对每一个μ∈[0，σ]，系统(1)至少存在两个非平凡的同宿解。

1 预备知识

且对u,v∈E,设

相应范数为

引理1在E中，范数‖·‖与范数‖·‖T等价

证明：对任意的u∈E,

由(S8)，可以有：

可以得到

运用‖u‖T作为需使用的范数。

E是Hilbert空间，E*表示E的对偶空间，因为E是连续嵌入LP(R,RN)。∀P∈[2,+∞),所以存在δp>0,使得

‖u‖P≤δp‖u‖T，∀u∈E。

(3)

其中‖u‖P表示LP(R,RN)的范数。

引理2(参考文献[15])假设L满足条件(S1)，则对任意的2≤P≤∞，E是紧嵌入LP(R,RN)。

对任意的u∈E,定义

(4)

引理3假设(S0)～(S8)成立，定义泛函

(5)

那么I是有意义的，并且I∈C1(E,R)，它的导数是

(6)

证明：该引理的证明过程与文献[10]中引理2.3的证明过程类似，故该引理的证明过程省略。

引理4Φ是强制的泛涵，弱下半连续的，在E的每个有界子集上有界，并且它的导数存在一个连续逆。

证明：首先容易得到Φ是强制的。设在E中uk→u，那么

所以有

接下来证明Φ′存在一个连续逆，对每一个u∈E{0}，由式(6)，可以有

〈Φ′(u)-Φ′(v),u-v〉=‖u-v‖2

所以Φ′是一致单调的，由文献[16]中的Theorem 26,可以得到Φ′存在一个连续逆E*。

2 定理1的证明

在证明定理1的过程中运用了参考文献[17]的Theorem 1。

证明：由(S2)，(S4)和(S5)，则对任意的ε>0，存在Tε>0,使得

(7)

由此，可以得到

大白兔“诞生”于1959年，美加净“诞生”于1962年，在那个年代，大白兔奶糖和美加净护肤品风靡一时，受到消费者的喜爱。大白兔成为建国十周年的献礼产品，产品经销全世界40多个国家和地区，成为国际市场上经久不衰的大众宠儿。美加净创造了很多中国化妆历史上的“第一”，第一支护发定型摩丝、第一款护手产品——美加净护手霜，上海家化还推出了美加净青苹果香波，这是国内首个“二合一”（洗发+护发）香波洗发水。