厦门大学附属实验中学 (363123) 林秋林

一、问题的提出

例1 (2020·新全国Ⅰ山东)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

试题的难点在第(2)问，这是一道“已知含参不等式恒成立进而求参数范围”的类型题，是函数导数压轴题中的热点问题，其通法是分离参数法或分类讨论法．但该题的参数无法分离，而利用分类讨论法，其如何分类也是个难点．虽然还可以利用同构思想来做等价变形，但难度也较大，不容易想到．故而不少学生在做简单尝试之后就会凭经验果断放弃，因此笔者想借此机会谈谈另外一种方法，即所谓“摸着石头过河”，同时不惴肤浅，付诸笔端，愿各位老师指正.

二、如何“摸着石头过河”？

生活中常说的“摸着石头过河”指的是若想过一条不熟悉的河，在没有前人给出经验、没有船也没有桥等情况下，要分清这条河哪个地方水深，哪个地方水浅，最好的方法就是以身试水摸索着河里的石头，一步步摸清情况从而安全过河．这个“过河”的思路在数学解题中也是适用的，就是解题不要盲无目的，要先想办法“摸到河里的石头”，也即必要性探路，然后再“循着石头去过河”，就能做到事半功倍．

大家都知道，导数是高中数学中的一个重要考点，导数和函数的综合问题几乎每年都成为高考以及各省市模拟考中的压轴题．对于这些压轴题，大部分学生解决起来都较为困难．但对于其中某些恒成立问题，若……