江苏省扬州中学 (225009) 戚有建 石青慧

一、考题展示

题目(2020年新高考山东卷21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求实数a的取值范围．

点评：本题是2020年新高考山东卷21题，第(1)问考查导数的几何意义，学生很容易上手，第(2)问考查用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，有一定难度和区分度.本题结构简洁、表达流畅、静中有动、平中见奇、入口较宽，解法多样，有内涵、有思想、有新意，令人回味无穷，极具教学价值和研究价值.本文重点研究第(2)问.

二、解法研究

(1)当0

综上得a≥1.

解法2：(先从必要条件入手求出参数a的初步范围，然后求f(x)min)

先考虑必要性：由f(x)≥1恒成立得f(1)≥1，即a+lna≥1，∵函数h(a)=a+lna在(0,+∞)上递增且h(1)=1，∴a≥1.

再考虑充分性：当a≥1时，aex-1≥ex-1,lna≥0，∴f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

下面证ex-1-lnx≥1，可参考上面解法1中的的(2),过程略.

综上得a≥1.

点评：解法2是先从必要条件入手求出参数a的初步范围，然后在a≥1条件下再研究f(x)min，过程中借助aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx放缩处理让问题显得更简单.另外，解法2中在证明ex-1-lnx≥1时也可以借助“切线不等式ex≥x+1，lnx≤x-1”来处理，过程为：由切线不等式ex≥x+1得ex-1≥x，而lnx≤x-1，所以ex-1-lnx≥1.

点评：主元法是处理多元问题的有效方法，当题目中含有常量、参量及变量等多个量时，可根据解题需要，选择一个量作为主元，并以此为线索来解决问题，以此往往能起到事半功倍、意想不到的效果.

∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴h(x)max=h(1)=0，∴lna≥0，即a≥1.

点评：解法4从题目的结构入手，构建同构不等式，借助单调性解题，非常简洁，其中改写成同构式的变形过程技巧性较强，而且变形过程中注意恒等式a=elna或a=ln(ea)的灵活运用，借此可以实现指数对数互化. 另外，要特别提出的是，构建同构式处理不等式实际上本质还是借助函数单调性来处理不等式，所以此种方法只能处理形如“f(x1)>f(x2)”结构的不等式.

三、命题方法

命题者是如何想到函数不等式aex-1-lnx+lna≥1的呢？其实命题者就是借助单调性和函数复合来编制本题的，过程如下：

第一步：先选定一个单调函数g(t)=et+t;

第二步：再选定一个不等式lnx≤x-1，然后引入参数得lnx≤x-1+m；

第三步：由g(t)=et+t的单调性得同构式不等式g(lnx)≤g(x-1+m)，即ex-1+m-lnx+m≥1；

第四步：将em换成a即得不等式aex-1-lnx+lna≥1.

四、方法应用

借助此命题方法，还可以命制出很多复杂的函数不等式问题，例如：

第二步：再选定一个不等式x>ln(x+1)>0；

第四步：改成整式得到问题：当x∈(0,+∞)时，证明(ex-1)ln(x+1)>x2.