江苏省南京市金陵中学 (210005) 于 健

所谓表征，即指两个世界的特征或元素之间的一种对应，即用一种形式(物理或心理的)将另一种事、物、想法或知识重新表现出来，其本质即为指代对象的一个替代(如符号或符号集).数学表征是主体在理解某个数学结构时将该结构与一个更易理解的数学结构之间建立一个对应的心理过程.问题表征形式上分为两种：一种是外在表征，即将问题以文字、数式、图表、模型和实验等具体的东西表示出来；另一种是内在表征，即问题在人脑中的思考.

数学抽象是六个数学核心素养之一，它是数学的基本思想，是形成理性思维的基础，反映了数学的本质特征.它主要包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学思想与方法，认识数学结构和体系.在解题中运用数学抽象的方式思考问题，可以迅速识别模型，把握问题本质，启发思考，化难为易，化繁为简，不断积累从具体到抽象的活动经验，从而达到培育学生数学抽象素养的目的.培育学生的数学抽象素养关键是找到一个抓手，那就是为学生创造适宜的问题情景，引导学生探究具体的数学模型，揭示数学抽象的过程，让学生理解问题的本质.因此，培养学生问题表征的能力显得尤其重要.

本文是笔者结合自己多年的教学实践，从问题表征的视角来谈谈在问题解决过程中培育学生数学抽象素养的一些想法，仅供参考.

1 方程表征，获得数学概念和规则

将看似与图形无关的方程，通过对条件的整合和合理变形，转化为学生熟悉的具有几何背景的代数式，再赋予合理的几何解释，从而将其表征为图形，最后通过图形清晰地呈现题设条件和结论之间的关系，更有利于学生对题意的理解，缩短审题的时间，迅速定位解题方向.

例1 已知x,y,z∈(0,+∞) ，且x2+y2+z2=1，则3xy+yz的最大值为.

评注：由题设条件容易联想到圆的方程，根据条件和结论，将y看作常量，于是问题就化归为学生熟悉的直线与圆的位置关系问题.还要注意变量的取值范围对图形的影响，再结合线性规划思想和基本不等式知识求最值.本题也可通过拆项和配凑的方式，再结合基本不等式求解，这种方法技巧性太强，但是从图形表征的视角思考问题更有利于将抽象的问题具体化，让学生从代数结构向几何形态转化的过程中，获得数学概念和规则，从而，让学生的思维有了依靠，让学生的解题有了新意，让学生的理解更为深刻.

2 条件表征，形成数学思想与方法

深刻理解和充分整合题设条件信息是用好条件表征的前提，条件表征的过程其实就是理解条件，即将条件进行信息解释、提取、组织、加工、表达的过程，在问题的解决过程中培育学生的数学抽象素养.

3 背景表征，认识题目结构和体系

深刻理解题意，充分了解题目所考查的目的，它是以什么方式呈现的，题目的结构形式是否繁杂，能否将陌生的问题熟悉化，复杂的问题简单化等，挖掘命题的背景，认识题目的结构和体系，找准解题的切口，从而突破难点.

评注：该题是多元变量求最值的问题，通过对其考查背景的分析可以利用逐级求解的方式解题，解法1的背景是绝对值，把问题转化为数轴上在[-1,1]之间的三个点之间的距离距离问题，将多变量减为单变量，再用基本不等式或函数的观点求解.解法2是利用变量之间的关系构造方程，表征为方程，再借助于三角函数知识求解.两种解法都让学生感受如何将复杂难懂的问题抽象成简单易懂的问题的过程，体现将数学抽象素养的培养落在实处.

4 模式表征，提出数学命题和模型

心理学的研究表明，人对数学模式的表征是有组织的，其组织的核心是一些语义相关的组块.一些孤立的信息输入人的大脑后经过筛选，进入短时记忆，再经过深加工，抽象出反映问题本质的有关信息的组合进入长时记忆，就形成模式表征[1].用好模式表征的关键是做好模式结构的识别、模式本质的分析、新旧知识的重组，数学语言的转换等工作，只有准确识别模式，才能缩短思维时间，缩小探究范围，达到迅速解决问题的目.

评注：求解该题的关键是要正确识别结论(m-p)2+(n-q)2的几何表征，即点(m,n)与点(p,q)之间的距离的平方，那么两个点又满足什么样的规律呢？自然就想到题设条件，将问题转化为两条曲线上的两个动点之间的距离问题，这样不但有利于学生发现规律，组织信息，更有助于拟定解题计划，简化学生的思维过程，在解题过程中培养学生的创造性和数学抽象思维能力.

数学抽象素养培养的关键是积累从具体到抽象的活动经验以及抽象思维材料的定位和选择；数学抽象素养落实的载体是创设提升学生思维能力的情景，依托学生熟悉的、关联的以及符合考试要求的情境下以问题表征为背景设计问题，考查学生的基础知识、基本技能、基本思想方法等，更重要的是引导学生归纳和提炼“问题表征”的模式和方法，让学生学会思考、学会学习，促进学生数学抽象素养的发展.

立足学情，精准定位，注重联系，通过关联、类比、联想、创造等思维方式，将抽象思维材料化为可视化的具体材料，不断拓展学生的抽象思维视域，探究学生的思维生长点.分析试题的结构，还原解题思路，让学生了解命题的背景和意图，更有针对性地引导学生解题，增强解题的时效性.在培育学生抽象思维的过程中，提高学生的理性思维能力，发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力，从而实现教学知识的迁移和整合，真正起到培育学生数学抽象素养的目的.