杜玮翎

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)

0 引言

子流形作为微分几何的一个重要分支，内容十分丰富.常平均曲率子流形是子流形中重要的一类，有许多有意义的结论，特别是对极小子流形的研究，得到了许多重要定理.如著名的Simons不等式[1]，

即：设Mn是单位球面Sn+p(1)的n维紧致无边的极小子流形，S表示其第二基本形式模长的平方，则有

其中*1表示M上的体积元.Simons不等式给出后，陈省身[2]，李安民[3]等又继续得出了一些推论.

最近，Chen-Cheng[5]利用Jacobi算子的特征值，刻画了球面上的常平均曲率的超曲面，对超曲面进行了分类.

事实上，若将单位球面Sn(1)看作是欧氏空间Rn+1的超曲面，则球面中的任意子流形均为曲率子流形，因此研究具有常平均曲率的曲率子流形是自然且有意义的.Wu[6]研究了曲率子流形的基本方程，张宇萍[7]证明了极小曲率子流形的一个Simons型不等式的结论，推广了Simons的结论.基于以上研究，本文中利用一类Schrödinger算子的特征值，继续研究了曲率子流形的一些性质，推广了Wu[4]、Chen-Cheng[5]的部分结论.

1 预备知识

1≤A,B,C,…≤n+p;1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p.

令{ωA}是{eA}的对偶标架场,当限制在Mn上时,有ωα=0，则有0=dωα.

由Cartan引理可知

(1)

(2)

可得Ricci恒等式

(3)

(4)

(5)

(6)

其中*1表示Mn的体积元.

(7)

当且仅当bi中至少有n-1个相等时等号成立.

2 主要定理及证明

(8)

这里*1表示M的体积元.

定理2.1的证明如所知

当地种植的大田作物主要有水稻、玉米、小麦等。当前除了冬小麦播种有少量用肥需求，当地已经基本进入用肥淡季。受化肥价格持续高位影响，加上农产品的价格低，当地农民用肥量有所减少，尤其在施肥结构方面，因尿素的价格大大高于往年同期，所以很多农民尿素的使用量大大降低，相应地，复合肥的使用量有所增加。……