蒋祥龙，

(上海大学理学院， 上海200444)

张量常微分方程的初值问题[1]可以表述为

式中，A和Y0是给定的常张量.该张量常微分方程的解为

式中， exp((t-t0)A)就是著名的张量指数函数.对于给定的常张量A， 张量指数一般表示为如下的级数表达式:

在文献[1]中， 式(3)被用来近似计算或者逼近张量指数， 即

式中， 截断的最高项nmax满足

本研究提出了一种张量广义逆Thiele 型连分式插值方法， 用来近似计算式(2)中的张量指数函数.该方法可以看作矩阵广义逆Thiele 型连分式插值方法[2–5]在张量上的推广， 且具有如下特点: ①在计算过程中，不必计算张量的乘积; ②该方法用连分式表示， 是一种递推计算方法.

1 有关张量的几个基本概念

张量是一个多维数组.一阶张量是一个向量， 一个二阶张量是一个矩阵， 并且是一阶张量.3 个或3 个以上的张量称为高阶张量.所谓张量矩阵化， 就是把张量用矩阵的形式展开[6].例如， 考虑一个三阶张量A= (ai1，i2，i3)∈R2×3×3.如果指定张量A的第3 个指标， 可以得到3 个2×3 矩阵， 由此该张量可以表示为

定义1 和定义2 为3 阶张量t乘积(t-product)的定义.该定义自然地以递归的方式推广到高阶张量.

定义1[7]设A ∈Rl×m×n.张量A的块循环矩阵为

定义张量的展开(unfold(·))[7]为

再定义张量的折叠(fold(·))[7]， 二者互为相反逆运算， 从而满足fold(unfold(A))=A.

定义2[7]设A和B分别是l×p×n和p×m×n张量.它们的3 阶张量乘积A*B是如下的l×m×n张量:

定义3 和定义4 为张量的内积和张量的范数， 可以看作是矩阵的直接推广.

定义3[8]设A=a(i1，i2，···，ip)∈Cn1×n2×···×np，B=b(i1，i2，···，ip)∈Cn1×n2×···×np.张量A和B的内积定义为

定义4[8]设A=a(i1，i2，···，ip)∈Cn1×n2×···×np， 它的范数定义为

根据式(5)和(6)， 不难证明

式中……