广东省中山市中山纪念中学(528454)周佳

一、课程分析

1.教材分析

本文以人教版《数学》(选修2-3)为蓝本,将博弈论的问题和数学建模结合设计教学过程,引导学生建立数学模型将数学建模引入高中数学教学,这样不仅可以调动学生的能动性,还能锻炼学生用所学知识解决实际问题和分析问题的能力,从而加深学生对书本知识的理解,提高学生的学习能力.在新的高中课程改革中,数学建模作为核心素养能力之一,已经被放在了首位,教材中也有大量的素材以数学建模为背景.数学建模是将生活中的问题,借助数学语言来分析问题,解决问题,表达问题.数学建模可以让抽象的知识系统化,是一种高效的课堂教学模式.本文列举了生活中的问题,通过建模思想研究其公平性,并完善规则,让学生在建模的过程中增强对所学知识的认识和兴趣.

2.学情分析

(1)授课对象:中山纪念中学高二学生

(2)认知基础:学生已经掌握了排列组合,概率等相关知识,有了利用所学知识建立数学模型分析问题的能力.

3.教学目标

(1)知识与技能 会运用所学的数学知识,通过建模过程将实际问题数学化,并通过数学知识解决问题.

(2)过程与方法 让学生亲自参与建模过程,经历“提出问题——探索问题——转化问题——建立模型——解决问题”的过程.

(3)情感态度价值观 通过数学建模过程,激发学生探索问题的好奇心,培养学生利用所学知识探索问题的兴趣和能力,通过数学建模过程让学生真正体会数学来源于生活,服务于生活,切身体会数学的魅力.

4.教学重,难点

(1)重点教学过程中,教师应该分配好每个环节的时间,对每个环节进行适时的引导和讲解,在教学设计中要体现数学建模的过程和背景所涉及的数学方法,即如何建立数学模型来解决问题,求解问题等.

(2)难点 如何培养学生的数学建模思想,如何将实际问题抽象为数学问题等.

5.教学方法和手段

采用启发式教学,分组式探究合作法.

二、教学过程

1.引入

公平性问题在生活中经常遇到,那我们如何运用所学知识对事件是否公平进行讨论呢?这是一种很重要的能力,今天我们就通过对一个游戏规则是否公平的讨论,识别生活中的骗局,体验一下如何利用数学建模思想将我们所学的知识用来分析问题和解决问题.

2.问题提出

例1小明过年回老家,在集市上遇到一位商贩(以下简称乙方)制定了这样一个赌博游戏引诱街上游客(以下简称甲方)来玩.箱子里面装有六个外形一样分别标有1,2,3,4,5,6 号码的球,甲先从箱子中摸出一个球,乙再从剩下的球中摸出两个球,胜负规则为:乙摸到的两个球的数字相加和甲的数字比较,谁的大谁就赢,值相同就是平局.赌金按如下规则支付:如果甲赢,则乙方向甲方支付2 元,若乙赢,则甲向乙支付1 元,这个游戏规则对甲方是否公平,是否有利?

3.自主探究

师:这个摸球规则谁获胜的可能性大,如何计算具体概率?

生:明显乙获胜的概率大,可以列出总的基本事件

师:但从赌金支付情况看,规则对于甲是否公平?需要计算什么?

甲抽出牌的数字123乙抽出牌的可能数字(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)(1,2)(1,3)(1,5)(1,6)(2,3)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(5,6)

甲抽出牌的数字456乙抽出牌的可能数字(1,2)(1,3)(1,5)(1,6)(2,3)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(5,6)(1,2)(1,3)(1,4)(1,6)(2,3)(2,4)(2,6)(3,4)(3,6)(4,6)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)

生:需要计算甲获利的期望,甲获利的期望(即平均获利)为,所以对于甲是不公平的.

4.修改模型

数学建模更加注重思维能力的培养,一个模型可能面临多样性解的问题,教师要事先做好准备.

师:那我们有哪些方法修改规则让这个规则对于双方是公平的?

处理方式一:

生:可以修改支付赌金规则,使得双方获利的期望为0,则规则是公平的.

问题引导:事先我们不知道如何设置赌金规则更公平,可以设如果甲赢,则乙方向甲方支付a元,若乙赢,则甲向乙支付b元,接下来如何计算呢?

处理方式二:

问题引导:是不是保持按1:2 比例支付就一定对甲不公平?我们的最终目标是要让甲的获利期望为零,若设甲获胜的概率为P1,乙获胜的概率为P2,则应满足P1×2+P2×(−1)=0,化简得P1:P2=1:2,比如当甲获胜的概率为,乙获胜的概率为时就满足,那么如何设置球的数字能满足相应概率呢?这个问题可能有些复杂,我们可以先简化问题,比如把球的数量改成3 个,大家讨论如何设置.

生:可以发现号码为1,2,3 不行,但设置为1,2,4 就可以.

师:那如果球的数量变成4 个,请大家讨论一下.

生:我们试了号码为1,2,3,4 不行,但如1,2,4,7 这种就可以.

师:那大家从上面的情况是否发现规律可利用到六个球的情况.

生:可以发现当数字从小到大排列,任意两个数字之和小于后面的号码即可.比如6 个球的时候号码定为1,2,4,7,13,21 是满足的.

5.模型推广及检验模型

我们来验证下前面的猜想,对于箱子里面装有n个外形完全一样的球,号码标为X1

问题引导:现在如何计算甲,乙获胜的概率,总的基本事件有多少个?甲获胜的基本事件有多少个?这样的数字有平局出现吗?

生:上面的数字保证了没有平局,总的基本事件为

甲获胜的基本事件为

6.小结

这节课我们通过学过的知识帮助我们识别了生活中的骗局,让我们真切感受到数学的力量.相信大家通过这节课也提升了学数学的成就感.下面我就布置两个课后作业供大家继续通过建模思想研究公平性问题.

7.课后作业

1.(2020年高考全国I 卷理科第21 题改编)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰:比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为.

①探讨这场比赛是否公平?

②经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.丙获胜的概率为多少?并对丙是否值得参与比赛给出建议.

2.一年夏天,北京中关村科学院小区门口有个西瓜摊,摊主是魏姓大兴人,他卖瓜不称重,大瓜小瓜分着卖,大瓜的个头基本相当,每个15 元;小瓜的个头也很均匀,每个5 元.这天住在小区里的王教授和王太太夫妇来买西瓜,王太太看到很多人都在买小瓜,就凑了过去,却听见王教授说:“不买小的,买大的.”“大瓜的半径比小瓜的半径大不了一倍,可大的价格却是小的3 倍呢,……”王太太犹豫道.王教授笑笑说:“瓜的大小要算体积,不是面积.那小瓜的半径大概是大瓜的一半,小瓜的体积不到大的30%,大小瓜的皮厚差不多,当然买大的划算.”王太太疑惑地抱起了大个的西瓜,老魏看得目瞪口呆.

①你是否支持王教授的判断?请说明理由.

②请你替摊主老魏出个主意.同品种的大小瓜的半径比是3:2,大瓜如果卖15 块钱一个,小瓜大概卖多少钱一个才能使得买大瓜小瓜都一样.

三、反思

在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中的课程内容突出了四条主线,其中一个就是“数学建模活动与数学探究活动”,必修有6 个课时,选择性必修有4 个课时,这是不同于旧教材的的一大创新.可见数学建模在新课标中的地位很重要,根据这种指导思想,本文尝试了将数学建模思想融入到解决实际生活的概率问题.

但数学建模并不是单纯地解决一个纯粹的数学问题,而是需要将实际问题数学化以及数学问题实际化的过程,因此在数学建模教学中应该善于灵活处理教材.做到教学有法,教无定法,贵在得法.

开展本节课后可以发现,数学建模课堂要以生为本,教师在引导学生处理实际问题上,要多鼓励学生发现问题,探究问题,让学生学会用数学的语言,符号,图表等来解决实际问题,真切体会到数学与生活之间的联系.在平时的教学中也可以有意识的渗透建模思想,只有这样,才能真正培养学生的建模能力和建模意识,不断提高学生的核心素养能力.

在讨论环节由于数学建模本身具有灵动性和自主性,所以课堂本身有许多不可控制性,这是最大的难点,这也要求教师事先就要预设好各种可能的方法和情形,从而在课堂上能做到灵活应对.在学生的参与过程中,要关注学生能否做到和他人交流;是否能自主分析问题;是否能利用数学语言处理问题,由于学生之间是有个体差异的,所以不能运用同一个标准来评判学生的建模活动,而应该从多种角度和结果进行评价.