广东省东莞市麻涌中学(523130)吴贞霞

对于广义Fibonacci 数列的通项表示一般有三种方法,使用最多的便是采用特征方程或采用发生函数求解而得[1-5],其次还有不少学者采用类似文献[1]的行列式表示方法,且方法具有一般性.然而笔者发现很少有人采用组合分析法表示广义Fibonacci 数列通项,是否存在这样的表示方法呢?答案是肯定的,本文将采用组合分析法给出二阶广义Fibonacci数列的通项公式,并且进一步采用组合分析法研究了高阶广义Fibonacci 数列通项表示法.

1 准备

定义1数列Fn若满足Fn+1=uFn+vFn−1(u,v ∈+),F0=0,F1=1,则称数列Fn为二阶广义Fibonacci 数列.我们熟知的Fibonacci 数列实则当u=v=1 的情况.

定义2数列Fn若满足Fn=u1Fn−1+u2Fn−2+u3Fn−3,F0=0,F1=0,F2=1,则称数列Fn为三阶广义Fibonacci 数列.

定义3数列Fn若满足Fn=u1Fn−1+···+ukFn−k,F0=0,···,Fk−2=0,Fk−1=1,则称数列Fn为k阶广义Fibonacci 数列.

2 主要结论及证明

定理1若数列Fn为二阶广义Fibonacci 数列,则.

证明(用组合分析法进行证明)设G(n)表示一个司机要行驶到第n个城市的方法总数,规定

1.相邻两个城市间有u条路线可选择,称之为1 路.任意间隔一个城市的两个城市间有v条路可选择,称之为2 路,且2 路均不经过中间那个城市.

2.司机从第i个城市开至i+1 或开至i+2 个城市时都必须停车加油后才能继续前进.

3.司机每次加油后只能行驶1 个2 路,或行驶1 个1 路.

显见G(1)=1,G(2)=u,且

令G(0)=0,则

因此数列(2)与二阶广义Fibonacci 数列有相同的初始值和相同的递推关系,从而可知G(n)=Fn(n=0,1,2,···).

事实上,我们还可以采用数学归纳法证明.这类二阶广义Fibonacci 数列在现实生活中有着数学建模的作用,并且更加贴近生活.对其研究就显得更加重要了.我们将上……