东莞市第六高级中学(523400)李海玲

一、试题呈现

二、思路分析

第一小问考查了导数的几何意义,在求出切线方程以后,利用点斜式易得切线l恒过定点第二小问主要考查函数的零点,由于结论中没有参数,因此我们可以将零点x1,x2带入f(x)中,使用消参法消掉参数a,然后使用比值代换、构造函数,对函数进行求导求出其最小值.当然有必要对结论使用均值不等式进行适当的变形,以期出现较为简单的形式.这道题也属于双变量问题,能够较好的考察学生分析问题、解决问题的能力,是一道比较好的题目.

三、解法探究

图1

图2

四、试题背景探究

本题来源于一个较为熟悉的不等式lnx≤x−1,对于这个不等式可以通过构造函数f(x)=lnx−x+1,然后求导,判断这个函数的单调性,得极大值点x=1,由于f(x)≤f(1)=0,故得到不等式lnx≤x−1.本题的本质是双变量的问题,一般情况下是把两个变量的问题转化为单变量问题求解,其根本的途径是构造函数.

2010年高考天津卷第21 题的第三问出现了一个极值点偏移的问题.试题如下:

题目2(2010年高考天津卷)已知函数f(x)=xe−x(x ∈),

(I)求函数f(x)的单调区间和极值;

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称,证明:当x>1 时,f(x)>g(x);

(III)如果x1̸=x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2.

此外,2011年高考辽宁理科卷也出现了一个双变量问题.题目如下:

题目3(2011年高考辽宁卷理科)已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)设a >0,证明:当时,;

(III)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′(x0)<0.

在近几年的高考中也出现了类似的问题.

题目4(2013年高考湖南卷文科)已知函数f(x)=.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)证明:当f(x1)=f(x2)(x1̸=x2)时,x1+x2<0.

题目5(2016年高考全国I 卷理科压轴题)已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2有两个零点.

(I)求a的取值范围;

(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

此问题还可进行如下变式:

变式1(2020年重庆市渝中区校级模拟)已知函数f(x)=xlnx−ax2(a ∈).

(1)若函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围;

(2)若g(x)=f(x)−x有两个极值点x1,x2,试判断x1+x2与x1·x2的大小关系并证明.

变式2(2020年哈尔滨道里区校级月考)函数f(x)=xlnx−ax2−x(a ∈).

(1)若函数f(x)在x=1 处取得极值,求a的值;

(2)若函数f′(x)的图象在直线y=−x图象的下方,求a的取值范围;

(3)求证:20202019<20192020.

变式3(2020年荆门模拟)已知函数f(x)=xlnx−ax2(a ∈)在定义域内有两个不同的极值点.

(I)求实数a的取值范围;

(II)记两个极值点为x1,x2,且x11.

变式4(2019年重庆市沙坪坝区校级月考)已知函数f(x)=xlnx−ax2,a ∈.

(1)若函数f(x)存在单调增区间,求实数a的取值范围;

(2)若x1,x2为函数f(x)的两个不同极值点,证明.

五、教学建议

(1)重视三基,构建牢固的知识网络

在高考复习中,一定要加强三基的训练.所谓三基,是指基础知识、基本技能和基本数学思想方法.在复习中对课本要做到:帮助学生梳理教材知识结构,提炼结构版块;立足教材基本例题、习题,搞好变式研究,复习基础知识时要引导学生突出主干知识、抓住本学科各部分知识之间的联系和综合应用,形成知识之间的纵横联系的网络.

(2)重视历届高考题及教材的习题

众所周知,一道优秀的模拟题或者高考题,一定会以《普通高中数学课程标准》的内容为根本,所以我们在复习中要重视高考题,重视课本中典型的例题及习题,在复习的过程中不要丢弃课本及典型的高考题.

(3)通过题型来渗透数学思想

在日常教学中,可以通过一题多解、一题多变来拓宽学生的思路,让学生学会综合运用有关的知识分析问题,提高解决问题的能力.教师以常见题型为载体,在教学中渗透数学思想与方法.在解题后进行反思和提炼是成功的保障.发挥学生的主观能动性和教师的主导地位,要相信学生,要把思维还给学生,要让学生真正的成为学习的主人.同时督促学生抓好平时各个环节,比如审题要谨慎、推理要严密、表述要清楚、计算要准确等能力.