王晓霞,袁学颖

(上海大学理学院, 上海 200444)

近年来, Brychkov 等[1-4]研究了双变量超几何级数函数的积分表达式, 如Appell 函数的积分表达式

另外, Saad[5]建立了Gordon 积分以及相关的恒等式; Sascha 等[6]建立了一系列超几何级数的积分表达式. 受到这些已有结果的启发, 本工作建立了一些关于双变量超几何函数的积分表达式, 包括Appell 函数和Humbert 函数的积分表达式.

为了论文的完整性, 本工作给出了Bailey[7]和Slater[8]提出的一般超几何函数的定义:

这里, 所有的参数属于复数域, 分母参数为非负正整数, 关于一般超几何函数pFq更多的性质和应用可以参考文献[7, 9]. 复数a的n次升阶乘(a)n为

式中: Γ 函数[10]的定义为

与Γ 函数关系密切的Beta 函数[10]定义为

接下来, 给出Srivastava 等[11]提出的双变量超几何函数的定义为

式中: 所有的参数属于复数域, 分母参数为非负正整数;An表示序列(A1,A2,··· ,An), 以及((Aa))n= (A1)n(A2)n ···(Aa)n[11]. 本工作所研究的双变量超几何函数及一般超几何函数都是在其一致收敛的情况下讨论的.

双变量超几何函数在超几何函数领域中具有重要的研究意义, 其中著名的Appell 函数[12]定义为

同样具有重要研究意义的Humbert 函数[13]包含

1 双变量超几何函数积分表达

借助Γ 函数和Beta 函数的定义, 本工作将给出对双变量超几何函数积分的表达式. 适当选择定理中的参数, 可以得到Appell 函数和Humbert 函数的积分表达式.

定理1下面的积分表达式是正确的:

证明 这里只证明式(1), 式(2)可同理证明. 根据双变量超几何函数的定义, 式(1)的左边形式可以表示为

这里, 认定上式中的双变量求……