张明坤 王艳沛 赵欢欢

(1.上海大学理学院, 上海 200444;2.郑州航空工业管理学院数学学院, 郑州 450046)

时滞微分方程在物理学、化学、环境科学和生态学等领域中有着广泛的应用, 但时滞微分方程解析解很难获得, 并且时滞项的存在使得时滞微分方程的理论分析具有一定的困难, 因此研究时滞微分方程的数值解显得十分必要.数值方法的稳定性在时滞微分方程数值解的研究中占有重要地位.在稳定性理论中, 时滞微分方程数值方法的稳定性根据时滞的大小是否对其产生影响, 分为时滞相关稳定性和时滞无关稳定性.时滞微分方程的时滞相关稳定性[1-3], 也称为D-稳定性.数值方法的D-稳定性要求: 数值方法应用于渐近稳定的时滞微分方程

得到的差分方程对所有的步长h=τ/m都要满足渐近稳定的条件.

为了弱化D-稳定性的条件, Hu等[4]提出一种稳定条件比较宽松的时滞相关稳定性-弱时滞相关稳定性, 并且得到了中立型时滞微分方程Runge-Kutta 方法和线性多步法的弱时滞相关稳定性的稳定性判据.弱时滞相关稳定性只需要存在一个正整数m, 使得数值方法应用于一个渐近稳定的时滞微分方程时, 在步长h=τ/m下所得的差分系统满足渐近稳定性条件即可.

本工作研究中立型时滞微分方程

式中: 谱半径ρ(N)<1;y(t)∈Rd; 参数矩阵L,M,N ∈Rd×d; 时滞常数τ >0.

方程(2)数值方法的稳定性研究目前已有很多成果[5-11].Rosenbrock 方法是一类常用于求解刚性常微分方程的数值方法, 该方法计算便捷易行, 具有良好的稳定性.曹学年……