田 钰, 和东宏, 马 杭

(上海大学力学与工程科学学院, 上海 200444)

固体内部的夹杂物(如粒子增强复合材料中的粒子)、第二相以及孔洞等对材料的性能有着重要的影响.对于这类材料的数值模拟, 为了精确地描述粒子的几何形状, 有限元需要采用大量的体积单元, 边界元只需在粒子边界, 即粒子与基体间的界面上剖分单元.然而, 为了能够精确地模拟粒子的曲面边界, 即使采用二次边界单元, 仍然需要较多数量的单元, 这就使得解题的规模变得十分庞大, 给问题的求解带来困难.近年来提出的等几何单元[1-3]能够准确地模拟曲线和曲面边界, 搭建了工程CAD 数据与科学计算之间的桥梁.等几何单元的不足之处是需要配置控制点来规定对象的几何形状, 与定义物理量的配位点位置并不相同.Gao 等[4]提出了高次等参数闭合单元来模拟二维圆和三维球面, 使得采用具有少量节点的一个单元来离散一个粒子成为可能.闭合单元的不足之处是存在端点或者端线, 在这些位置上, 形函数及其模拟的场变量的导数存在跳跃, 影响了数值模拟的精度.

本工作首先基于Lagrange 插值多项式, 将其写成单项式之和并进一步写成嵌套乘积的形式, 利用计算机程序自动计算嵌套乘积的系数, 避免了高次单元形函数冗长推导的麻烦; 然后,在已有闭合单元的基础上, 利用粒子几何形状的特性构建了椭圆和椭球高次光滑边界单元; 最后, 通过若干算例, 验证了……