殷宁

数学抽象是六大核心素养之一，也是最难的核心素养。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系。本节课要讲的《两个基本计数原理》属于原理和命题教学，也是数学抽象的范畴。

【教学内容分析】

计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，学生将依次学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

【学情分析】

在学习计数公式之前，学生已经学过简单的古典概型求概率，树状图、穷举法，但是并没有具体的计数公式对问题进行归纳定型。

【学习目标】

通过实例总结出两个基本原理，让同学们理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的特征;能够正确的区分“类”和“步”，能利用两个原理解决一些简单的实际问题。

【重难点】

重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

难点：正确理解“完成一件事情”的含义;根据实际问题的特征，正确地区分“分类” 或“分步”;把具体的自然语言转化成抽象的符号语言。

【教学过程】

【课前思考】

①如果使用2个大写的英文字母后接4个阿拉伯数字的方式构成汽车牌照号码（英文字母中的I和O不用，以免和数字1，0混淆），那么能组成多少种汽车牌照号码？

②新高考3+1+2模式中，共可能有多少种选科组合方法？

③乘积（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展开后共有多少项？

④从0、1、2、3这4个数中选出3个不同的数字排成一列，求能组成一个三位数的概率？

【问题情境】

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经过B村去C村，共有多少种不同的走法？

问题3：某校运动会前，各班开展了报名工作。跳远类有2个项目;田径类3个项目;集体类有4个项目;小明要从这些比赛项目中选择一项报名，他一共有多少种不同的选法？

问题4：跳远类有2个项目，田径类有3个项目，小明要从这两个类型的比赛项目中各选一项报名，他一共有多少种不同的选法？

【学生活动】

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经过B村去C村，共有多少种不同的走法？

问题3：某校运动会前，各班开展了报名工作。跳远类有2个项目;田径类3个项目;集体类有4个项目;小明要从这些比赛项目中选择一项报名，他一共有多少种不同的选法？

问题4：跳远类有2个项目，田径类有3个项目，小明要从这两个类型的比赛项目中各选一项报名，他一共有多少种不同的选法？

思考1：你能将上述4个问题归类吗？

生：问题1和问题3是一类，问题2和问题4是一类。

思考2：你还能再举出一些类似的例子吗？

生：如3位密码锁的设置过程;如选出兩名课代表。

设计意图：以问题串的形式引发学生自主归纳，并自己举例，引发所有人对“分类”和“分步”的反思和辨析，进一步明确两种类型的差异，经历分类与识别的过程。

思考3：能否归纳出分类计数问题和分步计数问题的特征和计算方法？

生：分类计数问题分为两类，分步计数问题分为两步。每类有不同的解决方法，只要把这些方法数加起来就行。分步计数问题只要把每一步的方法数乘起来即可。

追问1：分类计数问题一定就是分成两类吗？分步计数问题一定就是两个步骤吗？

追问2：每类方法下有多少种方法，能表示出来吗？每个步骤的方法数如何用数学语言表示？

设计意图：都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理，因此都要先弄清是怎样一件事，如何才算完成这件事.不同点：分类计数原理中的n类办法相互独立，且每类里的每种方法都可独立完成这件事;分步计数原理中的各个步骤互相依存，每一步都不能独立完成该件事，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

揭示本节课课题：《两个基本计数原理》

【课堂小结】

今天学习了什么内容？它们的“区别”和“联系”是什么？

【你学会了吗？】

如果使用2个大写的英文字母后接4个阿拉伯数字的方式构成汽车牌照号码（英文字母中的I和O不用，以免和数字1，0混淆），那么能组成多少种汽车牌照号码？

设计意图：以最开始提出的问题结尾，营造首尾呼应之感，以检验本节课教学成果，延续学生对本节课内容的研究兴趣。

【教学反思】

本节课是一节概念原理课，对于具体数学概念的抽象过程，应是特殊→一般→特殊，这是一个从具体到抽象再到具体的过程。本节课从几个具体简单的数学问题入手，引导学生寻找规律，对数学模型进行分析和建构，从中归纳和概括出数学概念和原理，这既是教学重点，也是难点。本节课问题1，2，3，4的结果学生很容易得出，但是在从具体数字到数学符号语言的飞跃过程中，学生仍然出现了不小的困难。在实施过程中，学生无法独立表达出“在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法”，说明本节课的数学概念抽象过程在具体操作中需要进一步细化。

在教学设计当中，目前有一点遗憾，那就是未能将本节课的《两个基本计数原理》和已有知识不落痕迹地结合，比如加法原理和分类讨论思想的一致性，乘法原理是树状图的原理呈现，树状图是乘法原理的穷举化表达等，希望给学生创造接受新知识并纳入已有知识网络的契机，这个创造在后续的学习中持续进行。